Quelques résultats de transcendance liés à l’invariant modulaire j. (Some transcendence results related to the modular invariant j). (French) Zbl 0633.10035

Faisant, Alain; Philibert, Georges

J. Number Theory 25, 184-200 (1987).

La dépendance en \(\tau\) des fonctions elliptiques et modulaires est étudiée en détail par les auteurs. Les résultats obtenus leur permettent de démontrer des mesures de transcendance où seules les constantes absolues ne sont pas explicitées, ainsi que de nouvelles mesures d’approximation simultanée. Ainsi, si \(\tau\) est dans le demi- plan de Poincaré et \(\alpha\), \(\beta\) sont deux nombres algébriques tels que \(j(\alpha)\neq \beta\) alors \[ | \tau -\alpha | +| j(\tau)-\beta | >C^{-d^ 3(\ln d+h(\alpha)+h(\beta))^ 3} \] où C est une constante absolue, \(d=[{\mathbb{Q}}(\alpha,\beta):{\mathbb{Q}}]\) et h désigne la hauteur de Weil. Des versions plus faibles de ce résultat existaient déjà dans certains cas dans les travaux de W. D. Brownawell et D. W. Masser [J. Reine Angew. Math. 314, 200-216 (1980; Zbl 0417.10027)] et D. W. Masser [Elliptic functions and transcendence (Lect. Notes Math. 437) (1975; Zbl 0312.10023)].
Les auteurs étudient pour commencer l’algorithme permettant de se ramener au cas où \(\tau\) est dans le domaine fondamental usuel \({\mathcal D}\). Ensuite, le cas où \(\tau\) est quadratique est traité élémentairement; dans les autres cas on se ramène à supposer que j(\(\tau)\) est algébrique (le cas où il est nul est délicat à cause de la multiplicité du zéro en i ou \(\rho)\) et on fait une démonstration de transcendance. Cette démonstration est construite sur un schéma classique mais utilise, outre les inégalités sur la variation en \(\tau\), de nombreuses astuces techniques permettant d’affiner le résultat final: division des coefficients de la fonction auxiliaire, procédé de Baker-Coates-Anderson, utilisation d’une fonction sigma “tordue” comme dénominateur des fonctions elliptiques, etc...
Le même procédé fournit aux auteurs des mesures de transcendance explicites en \(\tau\) des nombres \(\pi/\omega\), \(\eta/\omega\), et \(\zeta(u)-(\eta/\omega)u\) en suivant les notations classiques, lorsque j(\(\tau)\) est algébrique.
Ils déduisent enfin de ces résultats une mesure de transcendance de \(\eta(\tau)\), où \(\eta\) est la fonction de Dedekind, toujours pour j(\(\tau)\) algébrique, ainsi que des résultats d’indépendance algébrique, par exemple de \(\omega\), \(\omega'\), et \(j(\omega/\omega')\) lorsque \(\omega\) et \(\omega'\) sont algébriquement indépendants et simultanément bien approchés par des nombres algébriques.

Reviewer: E.Reyssat

MSC:

11J81	Transcendence (general theory)
11J85	Algebraic independence; Gel’fond’s method
11F03	Modular and automorphic functions

Keywords:

transcendence measure; algebraic independence; modular function; modular invariant; elliptic functions; measures of simultaneous approximation; Dedekind eta-function

Citations:

Zbl 0417.10027; Zbl 0312.10023

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