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Poncelet’s closure theorem. (English) Zbl 0633.51014
Poncelet’s “Schließungssatz” hat in den letzten zwei Jahrhunderten etliche Mathematiker beschäftigt. Er besagt: Wenn in der Ebene zwei Kegelschnitte C, D so liegen, daß man zwischen ihnen ein n-seitiges Polygon einzeichnen kann, dessen Ecken sämtlich zu den Punkten von C und dessen Seiten sämtlich zu den Tangenten an D gehören, so gibt es durch jeden Punkt von C (von trivialen Ausnahmen abgesehen) ein n- seitiges Polygon mit derselben Eigenschaft. Einfachstes Beispiel: das gleichseitige Dreieck zwischen Umkreis C und Inkreis D. Dieser Schließungssatz ist eine Spezialisierung des allgemeineren Satzes: Sind \(C,D_ 1,D_ 2,...,D_{n-1}\) Kegelschnitte eines Büschels \(\Delta\) und zeichnet man in C ein n-seitiges Polygon ein, dessen Ecken \(P_ 0,P_ 1,...,P_{n-1}\) auf C liegen und dessen Seiten \((P_{i- 1}P_ i)\) jeweils den Kegelschnitt \(D_ i\) berühren; läßt man dann \(P_ 0,P_ 1,...,P_{n-1}\) derart auf C wandern, daß die Seiten \((P_{i-1}P_ i)\) die Kegelschnitte \(D_ i\) einhüllen, so ist die Hüllkurve D der Seite \((P_{n-1}P_ 0)\) ebenfalls ein Kegelschnitt des Büschels \(\Delta\). Der Schließungssatz folgt daraus bei Identifikation von \(D_ 1,...,D_{n-1}\) und D.
Die Verff. müssen sich angesichts großer Vielfalt einen vollständigen Überblick über die historische Entwicklung von Varianten, Verallgemeinerungen und Beweis-Alternativen versagen. Sie beschränken sich vielmehr auf bestimmte Aspekte dieser Entwicklung und des modernen Verständnisses. Dabei werden eine Reihe von Fragen erörtert, die für moderne Algebraische Geometrie interessant sind. Das gilt insbesondere für die Eigenart der Ponceletschen Beweisführung, die in Gegenüberstellung zum klassischen Beweis Jacobis und zu einem modernen Beweis mit der Theorie der Elliptischen Kurven sorgfältig dargestellt und diskutiert wird.
Die umfangreiche Arbeit ist im Text konzentriert und daher nicht schnell zu lesen. Gelegentlich stören Druckfehler.
Reviewer: H.Germer

MSC:
51N05 Descriptive geometry
51-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to geometry
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