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Hilbert modular surfaces. (English) Zbl 0634.14022
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, Bd. 16. Berlin etc.: Springer-Verlag. ix, 291 p.; DM 148.00 (1988).
Seit vor nun fast hundert Jahren Hilbert im Zusammenhang mit dem 12. Hilbertschen Problem das nähere Studium der Hilbertschen Modulgruppen \(\Gamma\) total-reeller algebraischer Zahlkörper \(K\) und ihrer Modulfunktionen als direkte Analoga zur klassischen Modulgruppe anregte, hat sich, ausgehend von den Arbeiten von Blumenthal und Hecke, eine umfangreiche Theorie entwickelt. Es gab jedoch keine einführende Darstellung, so daß jeder Interessierte von Anfang an auf die ständig wachsende Flut von Originalarbeiten angewiesen war. Anfang der siebziger Jahre gelang es F. Hirzebruch, die Singularitäten des kompaktifizierten Quotientenraumes von \(\Gamma\) im Fall \([K:\mathbb Q]=2\) aufzulösen, wodurch eine singularitätenfreie projektive algebraische Fläche entstand. Damit war die unmittelbare Verbindung zur algebraischen Geometrie hergestellt, für die diese Flächen unter anderem eine Menge interessanten Beispiele und Sonderfälle lieferten.
Der Verf. des vorliegenden Buches schrieb 1981 zusammen mit F. Hirzebruch eine erste Einführung in diesen Teil der Theorie der Hilbertschen Modulfunktionen (d.h., \(\Gamma\) für \([K:\mathbb Q]=2\), zugehörige Quotientenflächen und ihre algebraischen Untervarietäten) unter dem Titel “Lectures on Hilbert modular surfaces” [Séminaire de Mathématiques Supérieures, Séminaire Scientifique OTAN (NATO Advanced Study Institute), Dep. Math. Stat., Univ. Montréal 77 (1981; Zbl 0483.14009)]. Die neue Darstellung entspricht im Aufbau bis auf einige Umstellungen im wesentlichen dem vom Verf. stammenden zweiten Teil der ursprünglichen Einführung einschließlich des Stoffes des Kapitels über Hilbertsche Modulflächen des ersten, damals von Hirzebruch verfaßten Teiles [für den Inhalt sei auf die ausführliche Besprechung von D. Zagier im Zbl 0483.14009 verwiesen], ist aber im einzelnen bedeutend ausführlicher. Am Anfang steht jetzt ein zusätzliches Kapitel mit einer kurzen Beschreibung der Grundlagen (“Spitzen, Fundamentalbereich, elliptische Fixpunkte, Modulformen”) und am Schluß ein Kapitel über die Tate-Vermutungen für Hilbertsche Modulflächen, in dem über die neuen Ergebnisse von G. Harder, R. P. Langlands und M. Rapoport [J. Reine Angew. Math. 366, 53–120 (1986; Zbl 0575.14004)] und C. Klingenberg [Invent. Math. 89, 291–318 (1987; Zbl 0601.14007)] berichtet wird. Hervorzuheben ist das ebenfalls neue Kapitel VIII mit einer Zusammenstellung vieler interessanter Beispiele.
Die übrigen Kapitel (II. Auflösung der Spitzensingularitäten, III. Lokale Invarianten, IV. Globale Invarianten, V. Modulkurven auf Modulflächen, VI. Kohomologie, VII. Klassifikation der Hilbertschen Modulflächen, IX. Humbertsche Flächen, X. Moduln abelscher Flächen mit reeller Multipikation’) bringen jeweils eine gut lesbare Einführung und verleihen durch eine Übersicht über weitere Ergebnisse mit ausführlichen Literaturhinweisen dem Buch den Charakter eines Handbuchs. Angefügt ist eine Tabelle numerischer Invarianten für die Hilbertschen Modulgruppen reell-quadratischer Zahlkörper mit den Diskriminanten \(D<500\).
Das Buch dürfte für längere Zeit das Standardwerk über dieses Gebiet sein.

MSC:
11F41 Automorphic forms on \(\mbox{GL}(2)\); Hilbert and Hilbert-Siegel modular groups and their modular and automorphic forms; Hilbert modular surfaces
14J20 Arithmetic ground fields for surfaces or higher-dimensional varieties
14G35 Modular and Shimura varieties
14-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic geometry
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
14E15 Global theory and resolution of singularities (algebro-geometric aspects)
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