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Sur l’analyse numérique des équations de Hamilton-Jacobi-Bellman. (On the numerical analysis of the Hamilton-Jacobi-Bellman equations). (French) Zbl 0635.65077
Dans le présent article l’aut. examine certains problèmes de maximum, dénommés équations de Hamilton-Jacobi-Bellman. L’analyse numérique d’un tel problème peut être ramenée à la résolution d’un système d’IQV (inéquations quasi-variationnelles). Soit un ouvert convexe \(\Omega\) de \(R^ N\) et soit \(a_{\mu}(u,v)\) une forme bilinéaire des deux variables u et v. L’aut. fait, entre autres, les hypothèses suivantes: coercivité de la forme bilinéaire, régularité suffisante des coefficients de celle-ci ainsi que de la frontière de \(\Omega\).
Eu égard à ces hypothèses, le problème continu adopte la forme d’un système d’IQV. Let propriétés de la solution de ce problème sont énoncées. Cette solution est unique; d’autre part elle est croissante et Lipschitzienne par rapport à un paramètre représentant le coût et aux seconds membres. En vue de discrétiser le problème, l’aut. recouvre \(\Omega\) d’un dallage triangulaire et s’appuie sur une méthode d’éléments finis. Les propositions valables au cas continu sont transposées au traitement du problème discret.
Une approximation de la solution est obtenue moyennant deux familles de problèmes auxiliaires, qui sont également des problèmes d’obstacles. Des estimations d’écarts, effectuées suivant la norme de \(L^{\infty}\), sont de l’ordre de grandeur de \(h^ 2| \log h|^ 2\). Finalement l’aut. est à même de traiter un problème de maximum. Utilisant la méthode des sous-solutions, il démontre la convergence de la solution approchée dans \(L^{\infty}\).

MSC:
65K10 Numerical optimization and variational techniques
49M15 Newton-type methods
70H20 Hamilton-Jacobi equations in mechanics
49J40 Variational inequalities
49L99 Hamilton-Jacobi theories
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