On an additive property of squares and primes. (English) Zbl 0636.10042

Ruzsa, Imre Z.

Acta Arith. 49, No. 3, 281-289 (1988).

Für eine Menge \(A\subseteq\mathbb N_ 0\) heißt \(\sigma (A):=\inf_{n\in\mathbb N} (A(n)/n)\) die Schnirelmann-Dichte und \(\b{d}(A):=\lim_{n}\inf (A(n)/n)\) die asymptotische Dichte von \(A\). (\(A(n)\) bezeichnet die Anzahlfunktion von \(A\), also \(A(n)\) ist die Anzahl der positiven Elemente in \(A\), die \(\leq n\) sind). Eine Menge \(H\subseteq\mathbb N_ 0\) heißt (Schnirelmann) wesentliche Komponente, wenn gilt \(\sigma (A+H)>\sigma (A)\) für alle \(A\) mit \(0<\sigma (A)<1\). Entsprechend definiert man mit der asymptotischen Dichte asymptotische wesentliche Komponenten.
Verf. betrachtet nun vorwiegend asymptotische wesentliche Komponenten. Von den Ergebnissen der Arbeit sei das Theorem 3 genannt: Sei \(A\subseteq\mathbb N_ 0\) mit \(\b{d}(A)=1/K\) \((K>3)\) und \(P=\{2,3,5,\ldots\}\) die Menge der Primzahlen. Dann gilt \(\b{d}(A+P)\geq c/\log \log K\) mit einer Konstanten \(c>0\). Andererseits gibt es eine Konstante \(C\), so daß man für jedes \(K>3\) eine Menge \(A\) mit \(\b{d}(A)=1/K\) und \(\b{d}(A+P)\leq C/\log \log K\) finden kann.
Eine analoge Aussage wird in Theorem 2 für die Menge \(Q\) der Quadratzahlen statt der Menge \(P\) gezeigt.

Reviewer: Erich Härtter (Mainz)

MSC:

11B05	Density, gaps, topology
11A41	Primes
11B13	Additive bases, including sumsets
11B57	Farey sequences; the sequences \(1^k, 2^k, \dots\)

Keywords:

asymptotic essential component; Schnirelmann density; set of primes; set of squares