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Symétrie de Hodge pour le polynôme de Bernstein-Sato. (Hodge symmetry for Bernstein-Sato polynomials). (French) Zbl 0636.32002
Sémin. d’analyse P. Lelong - P. Dolbeault - H. Skoda, Paris 1985/86, Lect. Notes Math. 1295, 1-10 (1987).
[For the entire collection see Zbl 0623.00006.]
Soit \(f: ({\mathbb{C}}^{n+1},0)\to ({\mathbb{C}},0)\) un germe de fonction holomorphe. On suppose que la monodromie agissant sur le \(p^{i\grave eme}\) groupe de cohomologie de la fibre de Milnor a pour valeur propre \(e^{-2i\pi u}\), \(u\in [0,1[\), avec la multiplicité k. Dans cet article l’A. établit une propriété de “symétrie de Hodge” pour les racines \(-u(mod {\mathbb{Z}})\) du polynome de Bernstein-Sato de f: Soit \(\sigma\) l’entier minimum tel que b ait k racines du type \(-u-q\) dans l’intervalle \([-u-0,-u]\) et \(\tau\) l’entier analogue relatif à \(v=1-u.\) Alors on a l’inégalité: \(\sigma +\tau \leq p.\)
La démonstration de ce théorème utilise le prolongement analytique des courants \(\int | f|^{2\lambda}f^{-\mu}w\square\) et l’existence de formes différentielles réalisant des blocs de Jordan de taille (k,k) de la monodromie sur \(H^ p\), existence établie dans deux autres articles du même auteur. Son résultat lui permet de donner en conclusion une version précisé d’un théorème de contribution effective de la monodromie aux pôles de \(\int | f|^{2\lambda}\square\) [’Monodromie et pôles de \(\int_{X} | f|^{2\lambda}\square\)’, à paraître aux Bull. Soc. Math. France].
Reviewer: J.M.Granger
MSC:
32A20 Meromorphic functions of several complex variables
32C30 Integration on analytic sets and spaces, currents
32Sxx Complex singularities