Stationary solutions of chemotaxis systems. (English) Zbl 0637.35007

Schaaf, Renate

Trans. Am. Math. Soc. 292, 531-556 (1985).

Die Arbeit befaßt sich mit Eigenschaften der stationären Lösungen eines sog. Chemotaxis-Systems, bei denen Zellen in Richtung höherer Konzentrationen gewisser chemischer Substanzen wandern, deren Produktion hinwiederum von der Zellpopulation abhängt. Bezeichnen u und v die Zell- bzw. Substanzdichte, so ergibt sich ein System nichtlinearer Diffusionsgleichungen \[ \partial u/\partial t = div(\mu(u,v) \text{grad} u-\chi(u,v) \text{grad} v), \]
\[ \partial v/\partial t=\nu_ 0\Delta v+k(u,v)\text{ in }\Omega;\quad \partial u/\partial n=\partial v/\partial n=0\text{ auf } \partial \Omega. \] Der stationäre Fall \(\partial u/\partial t=\partial v/\partial t=0\) kann durch Einführung der Funktion \(\phi(s,\lambda)\) als Lösung von \(\dot r(s) = \chi(r,s)/\mu(r,s)\), \(r(1)=\lambda\), \(\lambda >0\) auf eine skalare Gleichung zurückgeführt werden: Es ist dann \(u(x)=\phi (v(x),\lambda)\) und \(\nu_ 0\Delta v+k(\phi (v,\lambda),v)=0\), wobei \(\lambda >0\) beliebig gewählt werden kann. Ähnliches gilt für die jeweils linearisierten Probleme. Damit lassen sich dann Bifurkationsuntersuchungen hinsichtlich des Parameters \(\lambda\) mit Methoden anstellen, die die Verfasserin in früheren Arbeiten entwickelt hat. Das Verhalten von \(f(v,\lambda)=(1/\nu_ 0)k(\phi (v,\lambda),v)\) bestimmt dabei natürlich die Verzweigungspunkte \((m_ 0,\lambda_ 0)\), wobei \(v(x)=m_ 0\) die konstante Lösung zum Parameter \(\lambda_ 0\) bedeutet. In einer Raumdimension zeigen alle Lösungen in einem Verzweigungsast dasselbe Muster (d.h. sie haben die gleiche Anzahl von Extremwerten). Anschließend wird die Stabilität konstanter Lösungen und von Verzweigungslösungen in der Nähe der Verzweigung untersucht; diese Untersuchungen werden durch Beispiele hinsichtlich der Wahl von \(\chi/\mu\) und k erläutert. Es handelt sich um eine anspruchslose, trotzdem lesbare und interessante Arbeit.

Reviewer: H.Neunzert

MSC:

35B32	Bifurcations in context of PDEs
35K57	Reaction-diffusion equations
35B40	Asymptotic behavior of solutions to PDEs
35B35	Stability in context of PDEs
92D50	Animal behavior

Keywords:

Keller-Segel model; mutual attraction of amoebae; chemotaxis; stationary solutions; bifurcation techniques; bifurcation; stable nonhomogeneous aggregation patterns; sensitivity; cross diffusion; time map; exchange of stability

References:

[1]	J. C. Alexander and Stuart S. Antman, Global and local behavior of bifurcating multidimensional continua of solutions for multiparameter nonlinear eigenvalue problems, Arch. Rational Mech. Anal. 76 (1981), no. 4, 339 – 354. · Zbl 0479.58005
[2]	Wolfgang Alt, Biased random walk models for chemotaxis and related diffusion approximations, J. Math. Biol. 9 (1980), no. 2, 147 – 177. · Zbl 0434.92001
[3]	Wolfgang Alt, Orientation of cells migrating in a chemotactic gradient, Biological growth and spread (Proc. Conf., Heidelberg, 1979) Lecture Notes in Biomath., vol. 38, Springer, Berlin-New York, 1980, pp. 353 – 366. · Zbl 0445.92009
[4]	N. Chafee and E. F. Infante, A bifurcation problem for a nonlinear partial differential equation of parabolic type, Applicable Anal. 4 (1974/75), 17 – 37. · Zbl 0296.35046
[5]	S. Childress and J. K. Percus, Nonlinear aspects of chemotaxis, Math. Biosci. 56 (1981), no. 3-4, 217 – 237. · Zbl 0481.92010
[6]	Michael G. Crandall and Paul H. Rabinowitz, Bifurcation, perturbation of simple eigenvalues and linearized stability, Arch. Rational Mech. Anal. 52 (1973), 161 – 180. · Zbl 0275.47044
[7]	Michael G. Crandall and Paul H. Rabinowitz, Bifurcation, perturbation of simple eigenvalues and linearized stability, Arch. Rational Mech. Anal. 52 (1973), 161 – 180. · Zbl 0275.47044
[8]	G. L. Hazelbauer , Taxis and behaviour, elementary sensory systems in biology, Receptors and Recognition, Series B, vol. 5, Chapman and Hall, London, 1978.
[9]	T. Kato, Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, 1980. · Zbl 0435.47001
[10]	E. F. Keller and L. A. Segel, Initiation of slime mold aggragation viewed as an instability, J. Theoret. Biol. 26 (1970), 399-415. · Zbl 1170.92306
[11]	Hansjörg Kielhöfer, On the Lyapunov-stability of stationary solutions of semilinear parabolic differential equations, J. Differential Equations 22 (1976), no. 1, 193 – 208. · Zbl 0341.35049
[12]	I. Richard Lapidus and M. Levandowsky, Modeling chemosensory responses of swimming eukaryotes, Biological growth and spread (Proc. Conf., Heidelberg, 1979) Lecture Notes in Biomath., vol. 38, Springer, Berlin-New York, 1980, pp. 388 – 396. · Zbl 0436.92001
[13]	V. Nanjundiah, Chemotaxis, signal relaying and aggregation morphology, J. Theoret. Biol. 42 (1973), 63-105.
[14]	Murray H. Protter and Hans F. Weinberger, Maximum principles in differential equations, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1967. · Zbl 0549.35002
[15]	Paul H. Rabinowitz, Some global results for nonlinear eigenvalue problems, J. Functional Analysis 7 (1971), 487 – 513. · Zbl 0212.16504
[16]	Renate Schaaf, Global behaviour of solution branches for some Neumann problems depending on one or several parameters, J. Reine Angew. Math. 346 (1984), 1 – 31. · Zbl 0513.34033
[17]	-, Global solution branches via the time maps, SFB 123, preprint (1985).
[18]	J. Smoller and A. Wasserman, Global bifurcation of steady-state solutions, J. Differential Equations 39 (1981), no. 2, 269 – 290. · Zbl 0425.34028
[19]	J. Smoller, A. Tromba, and A. Wasserman, Nondegenerate solutions of boundary value problems, Nonlinear Anal. 4 (1980), no. 2, 207 – 216. · Zbl 0429.34024
[20]	Joel Smoller, Shock waves and reaction-diffusion equations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Science], vol. 258, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1983. · Zbl 0508.35002
[21]	René P. Sperb, On a mathematical model describing the aggregation of amoebae, Bull. Math. Biol. 41 (1979), no. 4, 555 – 571. · Zbl 0419.92002