×

zbMATH — the first resource for mathematics

Continuity of total number of intersection. (English) Zbl 0638.32011
In dieser Arbeit werden Sätze über die Stetigkeit von Schnittzahlen lokal-analytischer Mengen bewiesen. Es ergeben sich Aussagen, die man als Verallgemeinerung der Sätze von Rouché und Hurwitz auffassen kann. Mit den hier entwickelten Methoden wird außerdem ein neuer Beweis für den Satz von Bezout angegeben.
Unter anderem wird gezeigt: Es sei M ein \((n+1)\)-dimensionaler komplexer Vektorraum und X eine rein k-dimensionale lokal-analytische Menge im n- dimensionalen komplex-projektiven Raum \({\mathbb{P}}(M)\). Weiter sei G eine Teilmenge der Grassmann-Mannigfaltigkeit \(G_{n-k}(M)\), die aus solchen (n-k)-dimensionalen projektiven Unterräumen \(\xi\) von \({\mathbb{P}}(M)\) besteht, die den Rand von X nicht schneiden. Dann ist G offen in \(G_{n- k}(M)\) und für jede Komponente G’ von G ist \(A':=\{\xi \in G':\#\xi \cap X=\infty \}\) eine echte analytische Teilmenge. Die Abbildung G’\(\setminus A'\to {\mathbb{Z}}\), die jedem \(\xi\) die Anzahl der mit Vielfachheit gezählten Schnittpunkte von \(\xi\) mit X zuordnet, ist stetig.
Ein weiteres Hauptresultat behandelt folgende Situation: Es sei \(N={\mathbb{C}}^ n\), X eine rein k-dimensionale analytische Menge in einer offenen Menge \(\Omega\subset N\); außerdem sei Y eine rein (n-k)- dimensionale lokal-analytische Menge in N. Es bezeichne \({\mathcal B}={\mathcal B}(\Omega)\) den Raum aller biholomorphen Abbildungen f:\(\Omega\to f(\Omega)\subset N\) mit beschränktem f(\(\Omega)\); \({\mathcal B}\) sei mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz versehen. Ist dann \({\mathcal B}^*\) der Unterraum aller \(f\in {\mathcal B}\) mit \(\overline{f(X)}\cap \bar Y=f(X)\cap Y\), so gilt: Die Abbildung \({\mathcal B}^*\to {\mathbb{Z}}\), die jedem \(f\in {\mathcal B}^*\) die Anzahl der Schnittpunkte von f(X) mit Y zuordnet, ist stetig.
Reviewer: H.Kerner

MSC:
32B99 Local analytic geometry
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI