×

Über das homogene Dirichlet-Problem bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen vom Typ der Boussinesq-Gleichung. (On the homogeneous Dirichlet problem for nonlinear partial differential equations of Boussinesq type). (German) Zbl 0638.35024

In dieser Arbeit werden die semilinearen Differentialgleichungen der Gestalt \[ A(x,D)u-(-1)^{| \gamma |} \partial^{\gamma} B(\partial^{\gamma}u)=0, \] auf einem beschränkten Gebiet \(G\subset {\mathbb{R}}^ n\) betrachtet. Dabei ist \(A(x,D)\) ein linearer Differentialoperator der Ordnung \(2| I|\) in Divergenzform \(A(.,D)=\sum_{\alpha,\beta}(-1)^{| \alpha |} \partial^{\alpha} a_{\alpha \beta}(.)\partial^{\beta},\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) aus einer endlichen Multiindexmenge I, \(a_{\alpha \beta}=a_{\beta \alpha}\in C^ m(\bar G)\), \(m\geq | \alpha |)\) und \(B(.)\) ein “Nemytskij-Operator”.
Es hat sich gezeigt, daß die für semilineare elliptische Randwertprobleme entwickelten Hilbertraummethoden auch für die hier behandelten Gleichungen übertragbar sind.
Eine zentrale Rolle nehmen dabei der verallgemeinerte Sobolevraum \(H^ I_ 0(G)\), den man durch Vervollständigung von \({\overset\circ C}^{\infty}(G)\) bezüglich der Norm \[ \| \cdot \|_{I,G}:=\{\sum_{\alpha \in I}\| \partial^{\alpha}\phi \|_{0,G}+\| \phi \|^ 2_{0,G}\}^{1/2} \] erhält, und eine verallgemeinerte Sobolevsche Ungleichung.
Das Hauptergebnis dieser Arbeit ist der Nachweis der Existenz einer nichttrivialen schwachen Lösung der obigen Gleichung unter gewissen Voraussetzungen und Verwendung eines “Mountain Pass” Lemmas.
Als Anwendung der Methode werden mit \(n=2\) die in der Physik wichtigen Gleichungen \[ -u_{tt}+au_{xx}+cu_{xxxx}+d(u^ 2_ x)_ x=0\text{ ``Zabusky-Gleichung'',} \]
\[ u_{xxtt}-du\quad k=0;\quad k\geq 2\text{ ``quadrierte Wellengleichung'',} \]
\[ u_{tt}-au_{xx}- cu_{xxxx}+d(u^ 2)_{xx}=0\text{ ``Boussinesq-Gleichung''} \] \((a\in {\mathbb{R}}\), \(c\in {\mathbb{R}}^+\), \(d\in {\mathbb{R}}-\{0\})\), bei denen im linearen Anteil auftretenden Operatoren nicht einmal elliptisch sind, als Spezialfälle diskutiert.
Diese Gleichungen sind im Rahmen der Untersuchung von Oberflächenwasserwellen, akustischen Wellen im Plasma und nichtlinearen Wellengleichungen von Bedeutung.
Reviewer: M.L.Mehra

MSC:

35G30 Boundary value problems for nonlinear higher-order PDEs
35D05 Existence of generalized solutions of PDE (MSC2000)
35A15 Variational methods applied to PDEs
35Q99 Partial differential equations of mathematical physics and other areas of application
35L70 Second-order nonlinear hyperbolic equations
58E05 Abstract critical point theory (Morse theory, Lyusternik-Shnirel’man theory, etc.) in infinite-dimensional spaces
76B15 Water waves, gravity waves; dispersion and scattering, nonlinear interaction
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI

References:

[1] Adams, Sobolev spaces (1975)
[2] Ambrosetti, Dual variational methods in critical point theory and applications, J. Funct. Anal. 14 pp 349– (1973) · Zbl 0273.49063
[3] Aubin, Applied nonlinear analysis (1984) · Zbl 0641.47066
[4] Besov, Integral representations of functions and imbedding theorems 1 (1978)
[5] Boussinesq, Théorie de l’intumescence liquide appelée onde solitaire ou de translation se propageant dans un canal rectangulaire, Comptes Rendus 72 pp 755– (1871)
[6] Boussinesq, Théorie des ondes et des remous qui se propagent le long d’un canal rectangulaire horizontal, en communiquant au liquide contenu dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au fond, J. Math. Pures Appl. 2 pp 55– (1872) · JFM 04.0493.04
[7] Deift, Inverse scattering and the Boussinesq equation, Comm. Pure Appl. Math. 25 pp 567– (1982) · Zbl 0479.35074
[8] Doppel, A non-hypoelliptic Dirichlet problem from stochastics, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I. Math. 8 pp 375– (1983) · Zbl 0554.35020
[9] Fermi, Nonlinear wave motion pp 143– (1974)
[10] Friedman, Partial differential equations (1969)
[11] Hirota, Exact N-soliton solutions of the wave equation of long waves in shallowwater and in nonlinear lattices, J. Math. Phys. 14 pp 810– (1973) · Zbl 0261.76008
[12] Hörmander, Linear partial differential operators (1976)
[13] Jacob, On generalized Dirichlet problems, Math. Scand. 55 pp 245– (1984) · Zbl 0538.35015
[14] Jacob, On Gårding’s inequality · Zbl 0635.35011
[15] Kalantarov, The occurence of collapse for quasilinear equations of parabolic and hyperbolic types, J. Sov. Math. 10 pp 53– (1978) · Zbl 0388.35039
[16] Kruskal, Nonlinear wave motion pp 61– (1974)
[17] Louhivaara, Über nichtelliptische lineare partielle Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I. Math. 513 (1972) · Zbl 0251.35073
[18] Louhivaara, Über das verallgemeinerte Dirichletproblem für koerzitive lineare partielle Differentialgleichungen, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I. Math. 2 pp 327– (1976) · Zbl 0355.35016
[19] McKean, Boussinesq’s equation on the circle, Comm. Pure Appl. Math. 34 pp 599– (1981) · Zbl 0473.35070
[20] Nikol’skiǐ, The first boundary problem for a general linear equation, Sov. Math.-Doklady 3 pp 1388– (1962)
[21] Nirenberg, Variational and topological methods in nonlinear problems, Bull. Amer. Math. Soc. 4 pp 267– (1981) · Zbl 0468.47040
[22] Rákosník, Some remarks to anisotropic Sobolev spaces I, Beiträge zur Analysis 13 pp 55– (1979)
[23] Scott, Bäcklund transformations pp 80– (1974)
[24] Showalter, Hilbert space methods for partial differential equations (1979) · Zbl 0364.35001
[25] Tafel , W. Relative Beschränktheit und maximale Differentialoperatoren. Dissertation an der Fakultät für Mathematik der Ludwig-Maximilians-Universität München 1979
[26] Toda, A soliton and two solitons in an exponential lattice and related equations, J. Phys. Soc. Jap. 34 pp 18– (1973)
[27] Vainberg, Variational methods for the study of nonlinear operators (1964)
[28] Warnecke , G. Über das homogene Dirichlet-Problem bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen vom Typ der Boussinesq-Gleichung. Dissertation, Freie Universität Berlin 1985 · Zbl 0594.35086
[29] Zabusky, Nonlinear partial differential equations pp 223– (1967)
[30] Zahkarov, On stochastization of one-dimensional chains of nonlinear oscillators, Sov. Phys.-JETP 38 pp 108– (1974)
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.