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Error analysis of the enthalpy method for the Stefan problem. (English) Zbl 0638.65088
Die Enthalpie-Formulierung des Stefan-Problems lautet: \[ (*)\quad e_ t-\Delta U(e)=f\text{ in } \Omega \times (0,T)=:\Omega_ T, \] \(e(0)=e_ 0\), \(U(e)=0\) auf dem Rand. Dabei ist \(U: {\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}\) eine Lipschitzstetige monoton wachsende Funktion mit \(U(0)=0,\) \(U(r)\equiv \vartheta_ p\) für \(r\in [\lambda,\lambda +L]\) und \([U(r)- U(s)](r-s)\geq \alpha [U(r)-U(s)]^ 2.\) Die schwache Formulierung für dieses Problem ist: Finde \(e\in L^ 2(\Omega_ T)\) mit \[ U(e)\in L^ 2[0,T;H^ 1_ 0(\Omega)]\text{ und } \int_{\Omega_ T}(e\eta_ t- \nabla U(e)\cdot \nabla \eta -f\eta)dxdt+\int_{\Omega}e_ 0\eta (0)dx=0 \] für alle \(\eta\in L^ 2[0,T;H^ 1_ 0(\Omega)]\cap H^ 1[0,T;L^ 2(\Omega)]\) und \(\eta (T)=0\). Diese Formulierung ist Grundlage der Finite-Element-Diskretisierung \((\underline e^ n-\underline e^{n- 1})/\Delta t+A\underline u^{n+\vartheta}=\underline f^{n+\vartheta}.\)
Für stückweise lineare Elemente beweist der Autor die folgende Fehlerabschätzung: Es sei e Lösung von (*) und \(\{e^ n_ h\}\) \(M_{n=0}\) eine Folge von Lösungen der finite-Elemente Approximation. Dann gelten für \(\Delta t=ch\) die Fehlerabschätzungen \[ \max_{m}| e(t_ n)-e_ h^ n|_{-1}\leq Ch^{1/2},\quad (\sum^{M}_{n=1}\Delta t| U(e(t_ n))-U(e^ n_ h)|^ 2_ 0)^{1/2}\leq Ch^{1/2}. \]
Reviewer: K.-H.Hoffmann

MSC:
65Z05 Applications to the sciences
65N15 Error bounds for boundary value problems involving PDEs
65N30 Finite element, Rayleigh-Ritz and Galerkin methods for boundary value problems involving PDEs
35K05 Heat equation
35R35 Free boundary problems for PDEs
80A17 Thermodynamics of continua
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