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Bounds for the degrees in the Nullstellensatz. (English) Zbl 0641.14001
Soient \(P_1,\ldots,P_m\in\mathbb C[x_1,\ldots,x_n]\), de degrés au plus \(D\geq 1\), et sans zéro commun dans \(\mathbb C^n\). Le théorème des zéros de Hilbert montre l’existence de polynômes \(A_1,\ldots, A_m\in\mathbb C[x_1,\ldots,x_n]\) tels que: \(A_1P_1+\cdots+A_mP_m=1\). Des travaux de G. Hermann [Math. Ann. 95, 736–788 (1926; JFM 52.0127.01)] entraînent qu’on peut choisir les polynômes \(A_i\) de degrés au plus \(2(2D)^{2^{n-1}}\). Beaucoup d’auteurs ont essayé en vain d’éviter cette borne double exponentielle en \(n\). L’A. démontre ici, qu’on peut toujours choisir les polynômes \(A_i\) de degrés \(\leq \mu nD^{\mu}+\mu D\) où \(\mu =\min \{m,n\}\). Cette borne est optimale au coefficient \(\mu n\) près, mais en fait le résultat précis du l’A. permet de distinguer individuellement les degrés de chaque \(P_i\).
La démonstration combine de façon étonnante la théorie de l’élimination et les “théorèmes de Bezout analytiques” dérivés de la théorie des estimations \(L^2\) ou des formules de déconvolution. La passerelle entre ces deux pas étant le résultat suivant: Si \(Q_1,\ldots,Q_m\in\mathbb C[x_1,\ldots,x_n]\) est une suite régulière, les \(Q_i\) étant sans zéro commun dans \(\mathbb C^n\) et de degrés au plus \(D\geq 1\), il existe un réel \(C>0\) ne dépendant que de \(Q_1,\ldots,Q_m\) tel que, pour tout \(\omega\in\mathbb C^n\) vérifiant \(| \omega | =\max \{|\omega_1|,\ldots,|\omega_n|\}\geq 1\), on ait \[ \max | Q_i(\omega)| \geq C\cdot| \omega |^{1-(n-1)D^\mu}. \]
Cette dernière inégalité est l’hypothèse convenable qui, introduite dans les théorèmes de Bezout analytiques, en fait des théorèmes algébriques. La démonstration de cette inégalité clef repose, elle, sur les outils de théorie de l’élimination récemment développés en théorie des nombres transcendants.
Signalons enfin que, tout récemment, J. Kollár a redémontré (et raffiné) le théorème du l’A. par une méthode totalement différente, plus proche de la théorie de l’intersection.
{Voir aussi l’article récent du rapporteur [Ann. Math. (2) 127, No. 2, 367–371 (1988; Zbl 0641.14002)], voir le rapport suivant.}

MSC:
14A05 Relevant commutative algebra
11J81 Transcendence (general theory)
13F20 Polynomial rings and ideals; rings of integer-valued polynomials
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