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Brauer groups of factor spaces of linear representations. (Russian) Zbl 0641.14005

Soit G un groupe réductif (non nécessairement connexe) défini sur \({\mathbb{C}}\) et soit V une représentation linéaire presque libre de G, i.e. V possède un point d’orbite fermée et de stabilisateur trivial. Le but de cet article est de calculer le groupe de Brauer non-ramifié \(Br_{nr}({\mathbb{C}}(V)^ G)\) (l’invariant d’Artin-Mumford) du corps des invariants \({\mathbb{C}}(V)^ G\) (cet invariant ne dépend que de G). Rappelons que si le corps de fonctions \(K/{\mathbb{C}}\) est rationnel, i.e. transcendant pur sur \({\mathbb{C}}\), alors \(Br_{nr}(K)=0.\)
C’est D. J. Saltman qui a donné les premiers exemples de telles représentations \((G,V)\), avec G fini, pour lesquelles \(Br_{nr}({\mathbb{C}}(V)^ G) \neq 0\), et donc \({\mathbb{C}}(V)^ G\) n’est pas rationnel [Invent. Math. 77, 71-84 (1984; Zbl 0546.14014), J. Algebra 106, 221-238 (1987; Zbl 0622.13002)].
Le présent article vise à donner une formule générale pour le groupe \(Br_{nr}({\mathbb{C}}(V)^ G)\). Soit BG l’espace classifiant du groupe topologique \(G({\mathbb{C}})\). Soit \(F_ 1\), resp. \(F_ 0\), le sous- groupe de \(H^ 2(BG,{\mathbb{Q}}/{\mathbb{Z}})\) formé des éléments qui sont nuls par restriction aux sous-groupes abéliens finis de G, resp. aux sous-groupes finis de G. La formule générale est alors: \(Br_{nr}({\mathbb{C}}(V)^ G)\simeq F_ 1/F_ 0\). [Lorsque G est fini, donc \(F_ 0=0\) et \(H^ 2(BG,{\mathbb{Q}}/{\mathbb{Z}})=H^ 2(G,{\mathbb{Q}}/{\mathbb{Z}})\), un résultat plus général a depuis été obtenu par D. J. Saltman; cf. “Multiplicative field invariants and the Brauer group” (preprint, Austin 1987).]
Lorsque G est réductif connexe, des propriétés des groupes semi- simples permettent alors à l’auteur d’établir la nullité de \(Br_{nr}({\mathbb{C}}(V)^ G)\). La question de la rationalité de \({\mathbb{C}}(V)^ G\) est donc ouverte [voir l’A., Mat. Sb. 130(1972), No.1(5), 3-17 (1984; Zbl 0615.14031)], le cas de \(G=PGL_ n\) étant tout particulièrement intéressant. La nullité de \(Br_{nr}({\mathbb{C}}(V)^ G)\) dans ce dernier cas était déjà connue [D. J. Saltman, J. Algebra 97, 53-67 (1985; Zbl 0586.13005); le rapporteur et J.-J. Sansuc, J. Algebra 106, 148-205 (1987; Zbl 0597.14014)].
Lorsque G est fini, la formule générale permet à l’auteur de calculer explicitement le groupe \(Br_{nr}({\mathbb{C}}(V)^ G)\) pour des p- groupes nilpotents de classe 2, et d’obtenir ainsi de façon systématique grâce à d’élégants arguments de géométrie sur des corps finis, de nombreux exemples où \(Br_{nr}({\mathbb{C}}(V)\) G)\(\neq 0\), le plus petit groupe étant d’ordre p 7 (il obtient aussi l’exemple initial de Saltman, d’ordre p 9). L’auteur indique par ailleurs que le plus petit ordre d’un p-groupe G avec \(Br_{nr}({\mathbb{C}}(V)^ G)\neq 0\) est \(p^ 6\), et qu’il existe un tel groupe, nilpotent de classe 3.
L’auteur a depuis obtenu une formule générale pour le groupe de Brauer d’un corps d’invariants, pour une action presque libre mais non nécessairement linéaire [l’A., “Groupes de Brauer de corps d’invariants de groupes algébriques” (prépuplication, Moscou 1987)].

MSC:

14L24 Geometric invariant theory
20G05 Representation theory for linear algebraic groups
14F22 Brauer groups of schemes
14L30 Group actions on varieties or schemes (quotients)
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