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The blow-up time for solutions of nonlinear heat equations with small diffusion. (English) Zbl 0643.35013
Die Autoren untersuchen das nichtlineare parabolische Problem \[ u_ t- \epsilon \Delta u = f(u),\quad x\in \Omega,\quad t>0, \]
\[ u(x,t)=0,\quad x\in \partial \Omega,\quad t>0;\quad u(x,0) = \phi (x),\quad x\in \Omega, \] wobei \(\phi\) (x)\(\geq 0\) stetig und f(s) als positiv mit \(\int f(s)^{-1} ds<\infty\) vorausgesetzt wird. Sei \(T_{\epsilon}\) die Zeit, zu der die Lösung unendlich wird, und sei \(T_ 0\) diese Zeit für die gewöhnliche Differentialgleichung \[ v'(t) = f(v(t)),\quad t>0;\quad v(0) = \phi (x_ 0), \] wobei \(\phi (x_ 0)=\max_{x}\phi (x)\). Es wird gezeigt, daß unter der Voraussetzung \(\Delta \phi (x_ 0)<0\) die folgende Abschätzung gilt: \(c\epsilon <T_{\epsilon}-T_ 0<C\epsilon\) mit \(c,C>0\).
Reviewer: W.Wendt

MSC:
35B25 Singular perturbations in context of PDEs
35K55 Nonlinear parabolic equations
35B40 Asymptotic behavior of solutions to PDEs
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