Construction de solutions singulières pour des équations aux dérivées partielles non linéaires. (Construction of singular solutions for nonlinear partial differential equations). (French) Zbl 0643.35025

Leichtnam, Eric

Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 20, No. 2, 137-170 (1987).

Dans cet article l’A. construit des solutions locales u(x) de l’équation quasi-linéaires d’ordre m \[ (1)\quad \sum_{| \alpha | =m}P_{\alpha}(x,u,...,\partial^{\beta}_ xu)_{| \beta | \leq m-1} \partial^{\alpha}_ xu+R(x,\partial^{\beta}_ xu(x))_{| \beta | \leq m-1}, \] où les \(P_{\alpha}\), R sont holomorphes en leurs arguments pour x près de \(0\in {\mathbb{C}}^{n+1}\), \(\partial^{\beta}_ xu\) près de \(u_ 0^{(\beta)}\in {\mathbb{C}}\), \(| \beta | \leq m-1\); la fonction u(x) est holomorphe ramifiée autour d’une hypersurface complexe lisse \({\mathcal S}\) d’équation \(s(x)=0\) et de la forme \[ u(x) = a(x)+\sum^{+\infty}_{k=0}b_ k(x)s^{\gamma_ k}(x), \] (\(\gamma\) \({}_ k)\) est une suite de \({\mathbb{R}}^+_*\), \(\gamma_ k\uparrow^{+\infty}\). L’hypothèse de base étant que l’hypersurface \({\mathcal S}\) est simplement caractéristique pour l’équation linéarisée de (1) en a(x).

Reviewer: C.Zuily

MSC:

35G20	Nonlinear higher-order PDEs
35A20	Analyticity in context of PDEs
35C20	Asymptotic expansions of solutions to PDEs

Keywords:

quasilinear; singular solution; holomorphic coefficients; ramified solution; characteristic hypersurface

References:

[1]	Y. HAMADA , J. LERAY et C. WAGSCHAL , Systèmes d’équations aux dérivées partielles à caractéristiques multiples : problème de Cauchy ramifié, hyperbolicité partielle (J. Math. pures et appl., 1976 ). MR 55 #8572 | Zbl 0307.35056 · Zbl 0307.35056
[2]	T. ISHII et T. KOBAYASHI , Singular Solutions of Nonlinear Partial Differential Equations , Preprint, 1984 .
[3]	T. KOBAYSHI et G. NAKAMURA , Singular Solutions for Semilinear Hyperbolic Equations I , Preprint, 1984 .
[4]	L. NIRENBERG , An Abstract form of the Nonlinear Cauchy-Kovaleski Theorem (J. Diff. Geometry, vol. 6, 1972 ). Zbl 0257.35001 · Zbl 0257.35001
[5]	C. WAGSCHAL , Le problème de Goursat non linéaire (J. Math. pures et appl., 1979 ). Zbl 0427.35021 · Zbl 0427.35021
[6]	C. WAGSCHAL , Sur le problème de Cauchy ramifié (J. Math. pures et appl., 1974 ). MR 52 #3714 | Zbl 0265.35016 · Zbl 0265.35016