Problème de Cauchy semi-linéaire en 3 dimensions d’espace. Un résultat de finitude. (Semilinear Cauchy problem in 3 space dimensions a finiteness result). (French) Zbl 0645.35065

Lebeau, G.

Sémin., Équations Dériv. Partielles 1986-1987, Exp. No. 1, 5 p. (1987).

Dans cet exposé l’A. aborde l’équation des ondes, semi linéaire, sur un ouvert \(\Omega\) de \({\mathbb{R}}^ 4\) \[ (\partial^ 2_{x_ 0}- \Delta_{x'})u=p(u)=\sum^{d}_{j=0}p_ j(x)u^ j,\quad p_ j\in C^{\infty}(\Omega); \]
\[ u|_{x_ 0=0}=u_ 0,\quad \partial u/\partial x_ 0|_{x_ 0=0}=u_ 1,\quad x=(x_ 0,x'),\quad \omega =\Omega \cap x_ 0, \] dans laquelle \(u_ 0\in H^{\Delta}_{loc}(\omega)\), \(u_ 1\in H^{\Delta - 1}_{loc}(\omega)\) sont des distributions intégrales de Fourier de Hörmander sur une lagrangienne \(\Lambda \subset T^*\omega\) analytique.
L’A. établit que pour tout réel \(\sigma\), il existe un ensemble sous- analytique, homogène, isotrope \(L_{\sigma}\subset T^*\Omega\) ne dépendant que de \(\Lambda\) et contenant le front d’onde Sobolev d’indice \(\sigma\) \(WF^{\sigma}(u)\). En corollaire il remarque que pour tout entier k, u est de classe \(C^ k\) sur un ouvert dense de \(\Omega\) et que le contreexemple de M. Beals ne se produit jamais avec des traces distributions lagrangiennes analytiques.

Reviewer: G.Hecquet

MSC:

35L70	Second-order nonlinear hyperbolic equations
35L15	Initial value problems for second-order hyperbolic equations
35B40	Asymptotic behavior of solutions to PDEs

Keywords:

semilinear; Fourier integral; analytic Lagrangian; wave front; trace