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Approximations and complex multiplication according to Ramanujan. (English) Zbl 0647.10002

Ramanujan revisited, Proc. Conf., Urbana-Champaign/Illinois 1987, 375-472 (1988).
[For the entire collection see Zbl 0635.00003.]
Die vorliegende Arbeit schlägt einen riesigen Bogen von Periodenrelationen auf abelschen Varietäten bis zu Problemen der numerischen Mathematik. Die Autoren gehen aus von den Relationen zwischen den Perioden 1. und 2. Art auf elliptischen Kurven mit komplexer Multiplikation, ihrer Anwendung auf die Berechnung von \(\pi\), ihrer Interpretation als Identitäten für hypergeometrische Funktionen, wie sie bereits von Ramanujan entdeckt bzw. verwendet wurden. Dann werden entsprechende Probleme für abelsche Varietäten diskutiert, Transzendenzprobleme, die mit hypergeometrischen Funktionen zu arithmetischer Monodromiegruppe zusammenhängen, Padé-Approximationen und ihre Anwendung auf die Berechnung von Irrationalitätsmaßen.
Im 4. Kapitel werden einige hochinteressante Vermutungen und Probleme diskutiert, welche die arithmetische Bedeutung von akzessorischen Parametern und Monodromiegrupen linearer Differentialgleichungen betreffen; im 5. Kapitel wird genauer beschrieben, wie numerische Evidenz zu diesen Vermutungen gewonnen wird mit Hilfe von Verfahren zur expliziten Berechnung analytischer Fortsetzung und Monodromiegruppen. Ein wichtiges Detail dieser Verfahren, die schnelle Lösung von Matrixdifferenzengleichungen, ist Gegenstand des 6. Kapitels; ganz nebenbei wird als Spezialfall ein Faktorisierungsverfahren für große natürliche Zahlen \(N\) in \(O(4\sqrt{N} \log 2N)\) Bit-Operationen angegeben, welches (im Gegensatz zu Pollards \(\rho\)-Methode) deterministisch arbeitet und (im Gegensatz zu Shanks’ Verwendung der Kompositionstheorie quadratischer Formen) ohne Annahme einer Riemannschen Vermutung auskommt; die Frage nach einer günstigen Implementierung auf Parallelrechnern wird ebenfalls angeschnitten.
Die Autoren vermitteln eine enorme Fülle von Anregungen und Ideen für sehr verschiedene mathematische Gebiete, deren Querverbindungen hier als ganz natürlich sichtbar werden. Trotz des Umfangs der Arbeit kann dabei vieles jedoch nur angedeutet werden, viele Bemerkungen sind etwas vage und für den Uneingeweihten schwer nachzuvollziehen. Dieser Nachteil wiegt leider deswegen besonders schwer, weil die Arbeit in Details durchaus kritisch gelesen werden sollte; Kurve (2.6) gehört zur Gruppe \((0,3;3,6,5)\) (Erweiterung vom Index 2 der angegebenen Gruppe); die Jacobivarietät der Kurve (2.7) zerfällt generisch (bis auf Isogenie) in je einen Faktor der Dimensionen 8 und 1, zwei Faktoren der Dimension 4 und drei der Dimension 2 und nicht in der von den Autoren geschilderten Weise; die Bemerkung über die algebraische Unabhängigkeit der Werte der zugehörigen hypergeometrischen Funktionen \(F(z)\) und \(F'(z)\) auf S. 426 kann höchstens für jene algebraische Argumente \(z\) richtig sein, die nicht Werte \(\phi\) (\(\tau)\) der zugehörigen Shimura-Abbildung \(\phi\) an imaginärquadratischen Stellen \(\tau\) sind (vgl. S. 409 f.).
Reviewer: J.Wolfart

MSC:

11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
14-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic geometry
11J81 Transcendence (general theory)
14K22 Complex multiplication and abelian varieties
11-04 Software, source code, etc. for problems pertaining to number theory
11Y60 Evaluation of number-theoretic constants
11Y05 Factorization
11J85 Algebraic independence; Gel’fond’s method
30F10 Compact Riemann surfaces and uniformization
30B40 Analytic continuation of functions of one complex variable
34M99 Ordinary differential equations in the complex domain
41A21 Padé approximation
33C05 Classical hypergeometric functions, \({}_2F_1\)
68W99 Algorithms in computer science
11A41 Primes
14-04 Software, source code, etc. for problems pertaining to algebraic geometry

Citations:

Zbl 0635.00003