Elliptic functions and Lambert series in the summation of reciprocals in certain recurrence-generated sequences. (English) Zbl 0647.10014

Horadam, Alwyn F.

Fibonacci Q. 26, No. 2, 98-114 (1988).

Für ganze \(a\geq 0\), \(b\geq 1\), \(p\geq 1\), \(q\neq 0\) mit \(p^ 2\geq 4q\) sei \(w_ 0=a\), \(w_ 1=b\), \(w_{n+2}=pw_{n+1}-qw_ n\) (n\(\geq 0)\). Der Verf. gibt einen ausführlichen Bericht über die in der Literatur erschienenen Auswertungen der Summen \(\sum_{n\geq 1}w^{-1}_{d_ n}\), wo \((d_ n)\) eine der Folgen (n), (2n), (2n-1), \((k2^ n)\) mit \(k\geq 1\) ist [vgl. P. S. Bruckman, Fibonacci Q. 15, No.4, 293-310 (1977; Zbl 0399.10013)]. Hierzu erweisen sich in den Fällen \((d_ n)=(2n)\), (2n-1) insbesondere die Jacobischen Summationsformeln für elliptische Integrale [vgl. C. G. J. Jacobi, “Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum”, Gesammelte Werke 1 (1881), S. 159] und verallgemeinerte Lambertsche Reihen der Gestalt \(\sum_{n\geq 1}ax^ n(1-ax^ n)^{-1}\) \((| x| <1\), \(| ax| <1)\) als geeignet.
Für die Summen \(\sum_{1\leq m\leq n}w^{-1}_{k2^ m}\) werden spezielle Identitäten mittels vollständiger Induktion bewiesen. Eine Darstellung von \(w_ n^{-t}\) gelingt mit Hilfe verallgemeinerter Bernoullischer bzw. Eulerscher Polynome im Falle \(b=p=1\), \(q=-1\) und \(a=0\) bzw. \(a=2\).

Reviewer: W.Haneke

MSC:

11B37	Recurrences
11B39	Fibonacci and Lucas numbers and polynomials and generalizations

Keywords:

recurrence sequence; sums of reciprocals; identities; generalized Bernoulli polynomials; generalized Euler polynomials; Lambert series; elliptic integrals

Citations:

Zbl 0399.10013