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A limit theorem for the Riemann zeta-function close to the critical line. (Russian) Zbl 0649.10026
Der Verf. ergänzt seinen im Teil I seiner Arbeit [vgl. Litov. Mat. Sb. 27, No. 1, 113–132 (1987; Zbl 0641.10031)] bewiesenen Grenzwertsatz für \(\zeta\) (s) auf der Geraden \((1/2)\) durch einen analogen Grenzwertsatz auf der Geraden \((\sigma_ T)\) mit \( \sigma_ T=+\sqrt{\ln \ln T} \psi (T)/\ln T\), \(\psi(T)=\psi_ 1(T)\psi_ 2(T)\), \(\psi_ n(T)\to \infty\) \((n=1,2)\), ln \(\psi (T)=o(\ln \ln T)\) \((T\to \infty)\).
Mit \(G(x)=\Phi (\ln x)\), \(x>0\), \(G(x)=0\), \(x\leq 0\), \(\Phi (x)=(1/\sqrt{2\pi})\int^{x}_{-\infty}e^{-u^ 2/2}\, du,\quad\epsilon_ T=( \ln \ln T)^{-1/2}\) \((T>e)\) und dem Lebesgueschen Maß \(\text{mes}\{A\}\) einer L-meßbaren Menge \(A\) ergibt sich für alle reellen \(x\) \[ \lim_{T\to \infty}(1/T) \text{ mes}\{t\in [0,T],\quad | \zeta (\sigma_ T+it)|^{\epsilon_ T}<x\}=G(x). \]

MSC:
11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
11K99 Probabilistic theory: distribution modulo \(1\); metric theory of algorithms
60F05 Central limit and other weak theorems
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Full Text: EuDML