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Universal versus relative enveloping algebras: a geometric study of quotients of universal enveloping algebras of semisimple Lie algebras. (Universelle versus relative Einhüllende: Eine geometrische Untersuchung von Quotienten von universellen Einhüllenden halbeinfacher Lie-Algebren.) (German) Zbl 0649.17012
Sei \(G\) eine halbeinfache, zusammenhängende komplexe algebraische Gruppe, \(\mathfrak g\) ihre Lie-Algebra, \(\mathfrak U\) deren universelle Einhüllende und \(Z\subset \mathfrak U\) das Zentrum derselben. So beschreibt ein Satz von Kostant \(\mathfrak U\) als \(G\)-\(Z\)-Modul, und einem Satz von Duflo zufolge werden die minimalen primitiven Ideale in \(\mathfrak U\) von ihrem Schnitt mit \(Z\) erzeugt, und sind genau die Annullatoren der Verma-Moduln.
Es seien nun allgemeiner \(P\subset G\) eine Parabolische, \(A=P/(P,P)\) und \(\mathfrak p\to \mathfrak a\) die zugehörigen Lie-Algebren. Ich setze \(M=\mathfrak U\otimes_{\mathfrak U}(\mathfrak p) S(\mathfrak a)\) und untersuche den Ring \(R=\mathfrak U/\operatorname{Ann}_{\mathfrak U} M\) mit Zentrum \(\bar{\bar Z}\). Im Fall einer Borelschen \(P\) ist \(\mathfrak U=R\) und \(Z=\bar Z\). Aber auch für allgemeine \(P\) gelten für \(R\) Analoga der oben zitierten Sätze von Kostant und Duflo. Ich zeige solche Analoga zunächst für die globalen Schnitte \(\Gamma = \Gamma (X,\mathcal D_ X)^A=\Gamma (G/P,\mathcal U)\) der relativen Einhüllenden \(\mathcal U\) (im Sinne von Borho und Brylinski) des \(A\)-Hauptfaserbündels \(X=G/(P,P)\to G/P\). Anschließend erkläre ich mit Hilfe der Operatordarstellung einen Homomorphismus \(m: R\otimes_{\bar Z}S(\mathfrak a)\to \Gamma\), der zwar im allgemeinen weder injektiv noch surjektiv ist, lokal auf einer offenen dichten Teilmenge von “guten” Punkten aus \(\operatorname{Spec} \bar{\bar Z}\) jedoch sogar ein Isomorphismus ist. Mit diesem Isomorphismus lassen sich dann lokal an den guten Punkten Analoga für \(R\) der oben zitierten Sätze aus den Analoga für \(\Gamma\) ableiten.
Die Abbildung \(m\) ist jedenfalls an allen den \(\chi \in \operatorname{Spec} \bar Z\) lokal injektiv, für die der endliche Morphismus \(\operatorname{Spec}S(\mathfrak a)\to \operatorname{Spec} \bar Z\) flach ist. Bei der Behandlung der Frage, an welchen Punkten m lokal surjektiv ist, gebe ich eine “tangentiale” Beschreibung der globalen Differential-Operatoren auf einem beliebigen homogenen Raum.

MSC:
17B35 Universal enveloping (super)algebras
16S30 Universal enveloping algebras of Lie algebras
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Full Text: DOI EuDML
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