Conformal deformations of metric on \({\mathcal S}\) 2. (English) Zbl 0649.53022

Chang, Sun-Yung A.; Yang, Paul C.

J. Differ. Geom. 27, No. 2, 259-296 (1988).

Tout d’abord les AA. résolvent, sur un domaine \(D\subset S\) 2, le problème de Neumann suivant: \(\Delta u+Ke^{2u}=1\) sur D, \(\partial u/\partial n=0\) sur \(\partial D\), \(\partial D\) et K sont supposés \(C^{\infty}\). Lorsque l’aire de D est inférieure à la moitié de l’aire de S 2, le problème a une solution si K est positif quelque part. Lorsque D est un hémisphère, il suffit que \(\int_{D}K dA>\max_{x\in \partial D}(K(x),0) Aire(D).\)
Puis les AA. étudient le problème de Nirenberg sur S 2: K étant une fonction \(C^{\propto}\) donnée sur la sphère, existe-t-il une métrique conforme à celle de S 2 dont la courbure soit égale à K. Ce problème a fait l’objet de nombreuses études. Dans cet article les AA. donnent une condition suffisante pour qu’une solution existe. Ils supposent que \(K>0\) admet seulement des points critiques non dégénérés, et qu’en ces points \(\Delta\) \(K\neq 0\). Si K admet \(p+1\) maxima local et q points de selle avec \(\Delta K<0\), et si \(q\neq p\) alors le problème admet une solution.
Les AA. utilisent la méthode de concentration et cherche des extrema de la fonctionnelle \(Log \int Ke^{2u} dV-\int | \nabla u|^ 2 dV- 2\int u dV,\) en suivant les lignes de gradient de la fonction K. Les points critiques de K conditionnent l’obtention d’une solution.

Reviewer: T.Aubin

MSC:

53C20	Global Riemannian geometry, including pinching
58E15	Variational problems concerning extremal problems in several variables; Yang-Mills functionals

Keywords:

curvature gradient; conformal deformation; Neumann problem; Nirenberg problem