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Sur la multiplicité de la première valeur propre d’une surface de Riemann à courbure constante. (On the multiplicity of the first eigenvalue of a Riemannian surface of constant curvature). (French) Zbl 0656.53043

Dans cet article les auteurs démontrent le Théorème: Pour tous \(g\geq 3\), \(p\geq 0\) entiers, il existe une surface de Riemann X à courbure -1, de genre g, avec p cusps telle que la multiplicité de sa première valeur propre non nulle soit: \(E((1+\sqrt{8g+1})/2)\) où E est la partie entière.
La démonstration utilise l’étude d’un Laplacien combinatoire sur un graphe, une théorie des perturbations (variante géométrique de techniques utilisées en mécanique semi-classique) et des idées de transversalité remontant à V. Arnold. Ceci généralise et développe des articles antérieurs de B. Colbois [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 301, 927-930 (1985; Zbl 0582.53034)] et Y. Colin de Verdière [Comment. Math. Helv. 61, 254-270 (1986; Zbl 0607.53028)].
Reviewer: B.Helffer

MSC:

53C20 Global Riemannian geometry, including pinching
58J50 Spectral problems; spectral geometry; scattering theory on manifolds
35P15 Estimates of eigenvalues in context of PDEs
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Full Text: DOI EuDML