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On Sobolev spaces associated with some Lie algebras. (English) Zbl 0658.46023

Current topics in partial differential equations, Pap. dedic. S. Mizohata Occas. 60th Birthday, 261-287 (1986).
[For the entire collection see Zbl 0604.00006.]
L’A. considère d’abord des normes de type Sobolev associées à des métriques variant lentement en \({\mathbb{R}}^ n\), \[ \| u\|^{m,g}_{s,p}=[\sum_{j\leq s}\int \| D^ ju(x)\|^ p_ xm(x)^ pdx]^{1/p} \] pour lesquelles il établit des inéqualités semblables à celles de Gagliardo-Nirenberg, ce qui lui permet d’estimer des expressions nonlinéaires \(\| F(u)\|^{m,g}_{s,p}\). Modifiant une idée de Klainerman il considère ensuite des espaces de Sobolv associées à des algèbres de Lie de Champs de vecteurs, \(\| u\|^{A'}_{s,p}=\sum_{j\leq s}\| z_ 1...z_ ju\|_ p\) pour lesquelles il montre que \[ \| F(u)\|^{A'}_{s,p}\leq C(F,s,\| u\|_{\infty})\| u\|^{A'}_{s,p}. \] Ces résultats sont appliqués à la question de l’existence globale de solutions de certaines équations hyperboliques nonlinéaires pour lesquelles il obtient des résultats voisins de ceux F. John et S. Klainerman.
Reviewer: H.Brezis

MSC:

46E35 Sobolev spaces and other spaces of “smooth” functions, embedding theorems, trace theorems
22E60 Lie algebras of Lie groups
35L70 Second-order nonlinear hyperbolic equations

Citations:

Zbl 0604.00006