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Conformally flat manifolds, Kleinian groups and scalar curvature. (English) Zbl 0658.53038
Les AA. étudient dans cet article les variétés \((M,g)\) complètes localement conformément plates de dimension \(n\geq 3\). Ils montrent qu’une large classe de ces variétés est formée de quotients d’un domaine simplement connexe de la sphère par un groupe de Klein. Soit \((M,g)\) donné, il existe une application \(\Phi\) de son revêtement universel riemannien \((\tilde M,\tilde g)\) dans \(S_ n\). \(\Phi\) est unique à un élément de \(C_ n\) près \((C_ n\) l’ensemble des transformations conformes de \(S_ n)\). \(\Phi\) détermine une représentation \(\rho\) de \(\Pi_ 1(M)\) dans \(C_ n.\)
L’article consiste à trouver des conditions suffisantes pour que \(\Phi\) soit injective. Dans ce cas \(M\) s’identifie au quotient d’un domaine \(\Phi(\tilde M)\) de \(S_ n\) par un sous-groupe \(\rho [\Pi_ 1(M)]\) de \(C_ n\). C’est le cas lorsque \(n\geq 7\) si \(R(g)\), la courbure scalaire, vérifie \(R(g)\geq 0\). Cette même conclusion est obtenue sous quelques hypothèses supplémentaires pour les dimensions \(4,5,6\). Les AA. disent que le résultat s’étend à toute dimension \(n\geq 3\), sans hypothèse supplémentaire, en utilisant des résultats (non encore tous publiés) sur la fonction énergie de Schoen. Les AA. tirent des conséquences topologiques de leurs résultats, en particulier si \(R(g)\geq R_ 0>0\), \(\Pi_ i(M)=0\) pour \(i=1,2,\dots,[n/2].\)
Pour leur démonstration, les AA. introduisent un invariant \(d(M)\). Ce nombre caractérise la puissance minimum d’intégrabilité d’une fonction de Green minimale sur \(\tilde M\) en dehors d’un voisinage de son pôle. Les fonctions de Green considérées sont celles de l’opérateur \(L=-{\tilde \Delta}+(n-2)[4(n-1)]^{-1}R(\tilde g).\) On a toujours \(d(M)\leq n\) et les AA. montrent que \(\Phi\) est injective lorsque \(d(M)<(n-2)^ 2/n\) si \(R(g)\geq Cte\) pour \(n\geq 5\), et si \(| R(g)| \leq Cte\) pour \(n=3\) et 4. D’autre part si \(R(g)\geq 0\), d(M)\(\leq n/2\) et si \(R(g)\geq R_ 0>0,\) \(d(M)\leq (n-2)/2.\) D’où \(\Phi\) est injective lorsque \(n\geq 7\) si \(R(g)\geq 0\) et lorsque \(n=5\) ou 6 si \(R(g)\geq R_ 0>0.\)
Dans tout cet article une erreur se répète. Lorsqu’on fait une transformation conforme de la métrique \(g'=u^{4/(n-2)}g,\) on a \(G'(P,Q)=G(P,Q)[u(P)u(Q)]^{-1}\) et non pas l’expression considérée dans l’article \(G'(P,Q)=[u(P)]^{(n+2)/(n-2)}G(P,Q)/u(Q),\) qui est manifestement fausse puisqu’elle n’est pas symétrique en \(P\) et \(Q\).
Reviewer: T.Aubin

MSC:
53C20 Global Riemannian geometry, including pinching
58J60 Relations of PDEs with special manifold structures (Riemannian, Finsler, etc.)
30F40 Kleinian groups (aspects of compact Riemann surfaces and uniformization)
53C25 Special Riemannian manifolds (Einstein, Sasakian, etc.)
57R19 Algebraic topology on manifolds and differential topology
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML
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