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Bounded Reinhardt domains in Banach spaces. (English) Zbl 0661.32005
Soient \(E\) un espace de Banach et une décomposition en sous-espaces \(E_ n\) de dimension finie telle que tout \(x\) de \(E\) s’écrive de façon unique \(\sum x_ n\) avec \(x_ n\in E_ n\). Dans cet article les auteurs étudient les domaines de Reinhardt bornés relatifs à une telle décomposition (c’est-à-dire les ouverts bornés \(D\) de \(E\) qui contiennent \(0\) et sont invariants par la multiplication par les complexes de module 1 agissant sur \(E\) ou sur l’un des \(E_ n)\) en relation avec l’orbite \(G(0)\) de \(0\) sous l’action du groupe \(G\) des biholomorphismes de \(D\). Le cas \(E={\mathbb{C}}^ 2\) est le cas classique étudié par P. Thullen [Math. Ann. 104, 244–259 (1931; Zbl 0001.02303)].
Tout d’abord on s’intéresse au cas des espaces symétriques, \(D\) est alors la boule unité de \(E\) et est homogène (i.e. \(G(0)=D\)). Les auteurs décrivent alors toutes les décompositions possibles et montrent que \(E\) peut s’écrire \((\sum \oplus F_ p)_{c_ 0}\) où \(F_ p\) est isométrique soit à \(L(H_ 1,H_ 2)\) avec \(H_ 1\) et \(H_ 2\) espaces de Hilbert séparables, \(H_ 1\) ou \(H_ 2\) de dimension finie, soit à l’un des espaces symétriques irréductibles de dimension finie classifiés par E. Cartan. Les outils essentiels sont ceux des algèbres de Lie appliqués au cas où E est un espace irréductible de dimension finie.
Dans une deuxième partie, ils étudient le cas dim \(E_ n=1\) (espace à base) et donnent une forme normale pour les domaines de Reinhardt bornés à savoir: Après modifications de la norme sur \(E\) et regroupement de certains \(E_ n\), \(E=(\sum \oplus H_ p)_{c_ 0}\oplus F\) où les \(H_ p\) sont des espaces de Hilbert, \(F\) est un espace de Banach à base \((e_ i)_{i\in I}\) et \(x=(\sum x_ p)+(\sum y_ ie_ i)\in D\) si et seulement si \(\| x_ p\| <1\) et \(\sum_{i}[\prod_{p}(1-\| x_ p\|^ 2)^{-r_{p,i}}y_ ie_ i]\in D'\) où \(D'\) est un domaine de Reinhardt borné de \(F\) et les \(r_{p,j}\) sont des réels positifs tels que \(\sup_{i} [\sum_{p}r_{p,i}]<+\infty.\) L’orbite \(G(0)\) est alors la trace de \(D\) sur \((\sum \oplus H_ p)_{c_ 0}\).
Enfin les auteurs explicitent le cas où \(D\) est la boule unité d’un espace de Tsirelsohn de paramètre \(\theta\) ; l’espace engendré par \(G(0)\) est alors de dimension \([1/\theta]\).
Dans un dernier paragraphe on trouve des conditions nécessaires ou (et) sufficientes pour la convexitié de ces domaines sous forme normale.
Les résultats exposés généralisent ceux obtenus par J.-P. Vigué [Ann. Inst. Fourier 34, No. 2, 67–87 (1984; Zbl 0525.32027)].

MSC:
32A07 Special domains in \({\mathbb C}^n\) (Reinhardt, Hartogs, circular, tube) (MSC2010)
32M15 Hermitian symmetric spaces, bounded symmetric domains, Jordan algebras (complex-analytic aspects)
32K05 Banach analytic manifolds and spaces
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Full Text: Numdam EuDML
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