Construction of power integral bases in ray class fields over imaginary-quadratic number fields. (Konstruktion von Potenzganzheitsbasen in Strahlklassenkörpern über imaginär-quadratischen Zahlkörpern.) (German) Zbl 0666.12006

Schertz, Reinhard

J. Reine Angew. Math. 398, 105-129 (1989).

Sei \(K\) ein imaginär-quadratischer Zahlkörper, und für ein ganzes Ideal \(\mathfrak f\) sei \(K(\mathfrak f)\) der Strahlklassenkörper modulo \(\mathfrak f\) über \(K\) sowie \(K(1)\) der Hilbertsche Klassenkörper von \(K\). In der vorliegenden Arbeit werden für alle Erweiterungen \(K(\mathfrak f)/K(1)\) relative Ganzheitsbasen konstruiert, wobei es sich in vielen Fällen um Potenzganzheitsbasen handelt.
Grundlage hierfür sind normierte Teilwerte der Weierstraßschen \(\wp\)-Funktion von der Form \(P(\xi| \mathfrak f)=\varepsilon \wp (\xi | \mathfrak f)/\root 6\of {\Delta (\mathfrak f)}\) mit der Diskriminante \(\Delta\) aus der Theorie der Modulfunktionen und einer geeigneten Einheit \(\varepsilon\) mit \(\varepsilon^ 6\in K(1)\).
Das Ergebnis kann als ein Analogon zur für den Ganzheitsring \(\mathfrak o_ f\) im \(f\)-ten Kreiskörper, \(f\in\mathbb N\) bekannten Erzeugung \(\mathfrak o_ f=\mathbb Z[\zeta_ f]\), \(\zeta_ f=\exp (2\pi i/f)\) angesehen werden.

Reviewer: Reinhard Schertz

MSC:

11R37	Class field theory
11R33	Integral representations related to algebraic numbers; Galois module structure of rings of integers
11R11	Quadratic extensions

Keywords:

Hilbert class field; ray class field over imaginary quadratic field; power integral basis