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Henniart, Guy

The numerical local Langlands conjecture for \(\mathrm{GL}(n)\). (La conjecture de Langlands locale numérique pour \(\mathrm{GL}(n)\).) (French) Zbl 0666.12013

Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 21, No. 4, 497-544 (1988).
For any non-archimedean local field \(K\) and any \(n\) an injective map is constructed from the set of equivalence classes of irreducible \(n\)-dimensional complex representations of the Weil group of \(K\) into the set of equivalence classes of irreducible supercuspidal representations of \(\mathrm{GL}(n,K)\). This map preserves conductors and is compatible with torsion by unramified characters of \(K^*\). It is proved that all injective maps with those properties are bijective. It is not proved that there is one which preserves \(\varepsilon\)-factors. The surjectivity is derived from a conjecture on numbers of representations formulated by Koch and proved here.
In characteristic \(p\) this conjecture is proved using Laumon’s Fourier transform. In characteristic 0 the field \(K\) is compared with a local field of characteristic \(\neq 0\) with the same residue field. Moreover base change for \(\mathrm{GL}(n)\) is used.
In the construction of an injective map base change also plays a role, and \(L\)-functions and global arguments are employed.
Reviewer: J. G. M. Mars (Utrecht)

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MSC:

11S37 Langlands-Weil conjectures, nonabelian class field theory
20G25 Linear algebraic groups over local fields and their integers
11F70 Representation-theoretic methods; automorphic representations over local and global fields
22E50 Representations of Lie and linear algebraic groups over local fields

Keywords:

non-archimedean local field; complex representations of the Weil group; base change
Cite Review PDF
Full Text: DOI Numdam EuDML

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