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Lipschitz stratification of real analytic sets. (English) Zbl 0666.32011
Singularities, Banach Cent. Publ. 20, 323-333 (1988).
[For the entire collection see Zbl 0653.00009.]
Par stratification de \(({\mathbb{C}}^ n,0)\) on entend une suite croissante \((X^ j)\) de germes (de dimension j) d’ensembles analytiques à l’origine, telle que \(X^{j-1}\) contienne les points singuliers de \(X^ j\); T. Mostowski [Diss. Math. 243, 46 pp. (1985; Zbl 0578.32020)] a montré l’existence de stratifications, dites lipschitziennes, où les germes de fonctions \(q\mapsto dist(q,X^ j)\) vérifient certaines majorations. En vue de prouver l’existence de stratifications lipschitziennes de \(({\mathbb{R}}^ n,0)\), l’Auteur établit les deux théorèmes suivants relatifs à des germes d’ensembles analytiques à l’origine de \({\mathbb{R}}^ n\) (resp.: \({\mathbb{C}}^ n)\) qualifiés ci- dessous de réels (resp.: complexes). (1) Etant donné un germe complexe \(\tilde X,\) \(\dim_{{\mathbb{C}}}\tilde X=k\), et un sous-germe complexe \(\tilde Y,\) \(\dim_{{\mathbb{C}}}\tilde Y\leq k-1,\) il existe un sousgerme réel Y de \(\tilde X\cap {\mathbb{R}}^ n\) tel que \(\dim_{{\mathbb{R}}}Y\leq k-1\) et \(dist(q,Y)\leq C dist(q,\tilde Y)\) pour \(q\in \tilde X\cap {\mathbb{R}}^ n\). (2) Etant donné le germe complexe \(\tilde Y,\) il existe un germe réel Y tel que \(\dim_{{\mathbb{R}}}Y\leq \dim_{{\mathbb{C}}}\tilde Y\) et \(dist(q,Y)\leq C dist(q,\tilde Y)\) pour \(q\in {\mathbb{R}}\). Il signale que le problème reste ouvert pour les ensembles sousanalytiques.
Reviewer: M.Hervé

MSC:
32S60 Stratifications; constructible sheaves; intersection cohomology (complex-analytic aspects)
14Pxx Real algebraic and real-analytic geometry
32B15 Analytic subsets of affine space
32C05 Real-analytic manifolds, real-analytic spaces