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The Darboux theorem on plane trajectories of two-parametric space motions. (English) Zbl 0666.53004
In dieser Arbeit wird eine vollständige Klassifikation der zweiparametrigen Bewegungen, bei denen mindestens fünf Punkte in Bahnebenen laufen, gegeben. Sie baut dabei wesentlich auf einer Arbeit von G. Darboux auf, in der neben einem expliziten Beispiel für eine solche Bewegung vor allem der Beweis dafür gegeben wird, daß bei einer derartigen Bewegung i.a. höchstens 10 Punkte ebene Trajektoren haben können.
In einem ersten Teil werden die Grundlagen für eine geeignete Darstellung der zweiparametrigen euklidischen Bewegungsvorgänge zusammengestellt: Der Isomorphismus zwischen der Gruppe der eigentlichen, euklidischen Kongruenztransformationen \({\mathcal E}^ 3\) und SO(3,D) der Gruppe der eigentlich orthogonalen Transformationen im Vektorraum der dualen Vektoren, der Liesche Homomorphismus zwischen der Gruppe der dualen Einheitsquaternionen U und der Gruppe \({\mathcal E}^ 3\), sowie der Homomorphismus zwischen \(U\times U\) und SO(4,D). Mit diesen Ergebnissen wird gezeigt, daß der kinematische Bildraum der euklidischen Raumtransformationen ein homogener Raum ist, der lokal SO(4,D)/SO(3,D) bzw. \(U\times U/U\) äquivalent ist und als reguläre Quadrik K der Signatur (4,4,0) in einem projektiven Raum \(P^ 7\) realisiert werden kann.
Mit diesen Vorarbeiten wird eine explizite Darstellung der euklidischen Bewegungen gegeben, die als Grundlage für die weiteren Untersuchungen dient, bei denen nun die zweiparametrigen Bewegungen als zweidimensionale Untermannigfaltigkeiten auf K betrachtet werden können. Es werden dann die Ergebnisse von Darboux neu abgeleitet, wobei als wesentliches Hilfsmittel eine Normalform des Schiebeanteils des zweiparametrigen Bewegungsvorgangs benutzt wird. Weiter wird der Sonderfall behandelt, bei dem unendlich viele Bahnebenen existieren können. Für alle Fälle, wo die fünf Bahnebenen nicht allgemein zueinander liegen, wird gezeigt, daß der Bewegungsvorgang singulär wird, d.h. der sphärische Bewegungsanteil wird einparametrig.
In einem zweiten Teil wird eine differentialgeometrische Version des Darboux’schen Satzes gezeigt. Weiter werden einige Beispiele zweiparametriger Bewegungsvorgänge gegeben: Bewegungen mit konstanten Invarianten und der Bewegungsvorgang, der durch das Rollen von zwei kongruenten Flächen gegeben ist.
Reviewer: M.Husty

MSC:
53A17 Differential geometric aspects in kinematics
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Full Text: EuDML
References:
[1] G. Koenigs: Leçons de Cinématique. Paris 1897, Note III by G. Darboux: Sur les mouvements algébriques. · JFM 26.0808.03
[2] W. Blaschke: Kinematik und Quaternionen. Berlin 1960. · Zbl 0098.34701
[3] A. Karger: Two-parametric motions in \(E_3\). Apl. mat. 32 (1987), 96-119. · Zbl 0621.53010
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