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Syntomic regulators and values of \(p\)-adic \(L\)-functions. I. Appendix by Masato Kurihara. (Régulateurs syntomiques et valeurs de fonction \(L\) \(p\)-adiques. I.) (French) Zbl 0667.14006
Soient \(k\) un corps parfait de caractéristique \(p>0\), W l’anneau des vecteurs de Witt de \(k\) et \(X\) un W-schéma plat quasi-projectif. Nous construisons des classes de Chern supérieures \(c_{ij}:\quad K_ j(X)\to H^{2i-j}(X_ n,s_ n(i)_ X)\) \((X_ n=X\times_ W{\mathbb{Z}}/p^ n)\) où \(s_ n(i)_ X\) désigne les faisceaux “syntomiques” de Fontaine-Messing (définis seulement pour \(i<p\), ce qui rend la construction non triviale) qui, au moins conjecturalement (nous n’avons pas vérifié toutes les constructions déjà existantes), englobent les régulateurs \(p\)-adiques construits précédemment par Soulé, Coleman, de Shalit, Wagoner,…. Nous employons pour ce faire un résultat de Deligne sur le calcul de la cohomologie cristalline de \(B.GL_ n.\)
Cette construction répond en particulier à une conjecture de Schneider et permet, par exemple, d’énoncer des conjectures sur les valeurs aux points entiers positifs des fonctions \(L\) \(p\)-adiques attachées aux caractères de Dirichlet de groupes de Galois de corps cyclotomiques analogues à celles formulées par Beilinson pour les fonctions \(L\) standards grâce à la cohomologie de Deligne.
Nous calculons l’image de l’élément construit par Beilinson dans \(K_ 3(W)\otimes {\mathbb{Q}}\) (et qui coincide, comme l’a montré Soulé, avec celui construit par lui-même) par \(c_{2,3}\), résolvant ainsi notre conjecture dans ce cas. Un énoncé analogue avait déjà été obtenu par Coleman avec des techniques différents.
En appendice, M. Kurihara montre que l’éclaircissement (envisagé auparavant par Kato) qu’apporte l’introduction de \(c_{1,1}\) dans les lois de réciprocité explicites du corps de classe permet également de calculer l’image des éléments construits par Soulé dans la K-théorie d’ordre impair quelconque modulo torsion de W.
Reviewer: M.Gros

MSC:
14G40 Arithmetic varieties and schemes; Arakelov theory; heights
14G10 Zeta functions and related questions in algebraic geometry (e.g., Birch-Swinnerton-Dyer conjecture)
11G40 \(L\)-functions of varieties over global fields; Birch-Swinnerton-Dyer conjecture
14F05 Sheaves, derived categories of sheaves, etc. (MSC2010)
14F30 \(p\)-adic cohomology, crystalline cohomology
14G20 Local ground fields in algebraic geometry
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Full Text: DOI EuDML
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