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Theory of near-fields. (Theorie der Fastkörper.) (German) Zbl 0669.12014
Thales Monographs, 1. Essen: Thales Verlag. III, 393 S. (1987).
Mehr als acht Jahrzehnte nach der Entdeckung eigentlicher Fastkörper durch L. E. Dickson [Trans. Am. Math. Soc. 6, 198–204 (1905; JFM 36.0207.01)] war für das Erscheinen einer “Theorie der Fastkörper” in Buchform wohl der rechte Augenblick gekommen. Eine Gesamtübersicht über dieses Gebiet war ja bislang allein in der Gestalt des vom Autor des vorliegenden Titels verfaßten “Bericht über Fastkörper” [J.- Ber. Deutsch. Math.-Verein. 76, 41–103 (1974; Zbl 0303.12105)] vorhanden gewesen. Dessen Gedrängtheit sowie die Ergebnisse reger Fastkörperforschung weiterer dreizehn Jahre, dann die Dringlichkeit, in der Fastkörpertheorie ein terminologisches Tohuwabohu zu verhüten, hatten das Herauskommen einer einschlägigen Monographie höchst wünschenswert gemacht.
Unterteilt in fünf Kapitel und versehen mit einem ausgedehnten Anhang, einem “Summary” auf Englisch und drei Verzeichnissen (Literatur, Symbol- und Sachverzeichnis) soll somit der Band einen kolossalen Nachholbedarf decken und zudem als Wegweiser für zukünftige Entwicklungen der Fastkörpertheorie wirken.
Kapitel I informiert über die Grundlagen der Theorie der Fastkörper. Gleich zu Beginn wird der starke Kontrast der Fastkörper zu dem allgemeinen Hintergrund der Fastringe überhaupt deutlich, sei es durch die von B. H. Neumann [J. Lond. Math. Soc. 15, 203–208 (1940; Zbl 0027.15401)] nachgewiesene Kommutativität der Addition, durch die enge Beziehung zwischen Fastkörpern und fixpunktfreien Gruppen (Darstellungssatz) und Zassenhaus’ klassische Resultate über endliche Fastkörper [H. Zassenhaus, Abh. Math. Semin. Univ. Hamburg 11, 187–220 (1935; Zbl 0011.10302)], oder sei es durch die geometrische Bedeutung der Fastkörper, wobei jüngstens gerade bei Fragen der Einbettbarkeit nicht-planarer in planare Fastkörper einige Fortschritte erzielt wurden. Daneben findet man im ersten Kapitel Originalresultate des Autors über Fastkörpererweiterungen.
Kapitel II ist verhätnismäßig kurz und dient in erster Linie dazu, den “allgemeinen Dickson-Prozeß” zu beschreiben. Dieser stellt Fastringkoppelungen her, welche vor allem J. Timm [Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 35, 57–74 (1970; Zbl 0217.06402); 36, 16–32 (1971; Zbl 0217.06403)] und C. J.Maxson [J. Algebra 14, 152–169 (1970; Zbl 0187.30402) und 17, 404–411 (1971; Zbl 0217.34205)] aus Methoden entwickelt haben,die bereits L. E. Dickson [Nachr. Akad. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Kl. 1905, 358–393 (1905; JFM 36.0138.03)], H. Zassenhaus [op. cit.], J. André [Math. Z. 62, 137–160 (1955; Zbl 0064.14402)], H. Karzel [Arch. Math. 16, 247–256 (1965; Zbl 0131.01701)], F. Pokropp [Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 30, 188–219 (1967; Zbl 0147.27901)] und J. Timm [Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 33, 102–118 (1969; Zbl 0182.36301)] mit Erfolg bei der Konstruktion von Quasi- bzw. Fastkörpern angewandt hatten.
In Kapitel III wird der “klassische Dickson-Prozeß behandelt, der eben Dicksonsche Fastkörper an Körper koppelt. Neben diesem vielleicht populärsten Teilgebiet der Fastkörpertheorie offeriert der Verf. zahlreiche neue Themen: Dicksonsche Fastkörpererweiterungen, eine gewisse Bedingung, die das Dicksonsch-Sein eines Fastkörpern gewährleistet (ein sogenanntes “Zassenhauskriterium”), Isomorphiesätze für Kopplungen, Galoiserweiterungen regulärer Fastkörperpaare und Fastkörperkonstruktionen mit neuen Ideen.
Kapitel IV rollt die Theorie und Klassifikation der endlichen Fastkörper durch Zassenhaus [op. cit.] und ihre Verallgemeinerung auf den lokal endlichen Fall durch S. Dancs Groves [Doctoral dissertation, Austral. Nat. Univ., Canberra 1974; Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 48, 89–107 (1979; Zbl 0413.12028)] auf, die gleichzeitig klaffende Lücken in der genannten Arbeit von Zassenhaus schließen half.
Das abschließende Kapitel verknüpft Fastbereiche und KT-Felder mit scharf \(k\)-fach transitiven \((k=2,3)\) Permutationsgruppen, um eine Klassifikation der lokal endlichen scharf dreifach transitiven Permutationsgruppen zu gewinnen, die vorher schon O. H. Kegel [Arch. Math. 18, 337–348 (1967; Zbl 0189.31103)] mittels anderer Beweismethoden gelungen war. Insbesondere werden die KT-Felder- Konstruktionen von J. Tits [Bull. Cl. Sci. Mem. V, Ser., Acad. R. Belg. 35, 197–208, 224–233, 568–589, 756–773 (1949; Zbl 0034.30504; Zbl 0035.29602; Zbl 0036.29503; Zbl 0036.29504)] und die von W. Kerby und H. Wefelscheid [Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 37, 225–235 (1972; Zbl 0258.17010)] dargestellt.
Über hundert Seiten erstreckt sich der elfteilige Anhang. Es war ein besonderes Anliegen des Autors, auch hier mit größtmöglicher Vollständigkeit Beweise zu führen. Das vom Anhang bereitgestellte Material stammt vorwiegend aus der Gruppentheorie, daneben werden ring-, körper- und zahlentheoretische Hilfsmittel geboten. Damit wird breiten Mathematikerkreisen der Zugang zum Stoff erheblich erleichtert. Hinzu tritt das englische “Summary” (22 Seiten), das neben seinem trivialen Zweck, fremdsprachiges Leserpublikum anzusprechen, noch die wichtige Funktion hat, das Auffinden von Definitionen und Sätzen des Buches zu beschleunigen.
Aufgaben und ungelöste Probleme würzen das sorgfältig zubereitete Werk.
Reviewer: Huberta Lausch

MSC:
12K05 Near-fields
12-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to field theory
12-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to field theory
16Y30 Near-rings