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Asymptotische Vollständigkeit beim Charge-Transfer-Modell. (German) Zbl 0669.35093

Berlin (FRG): Freie Univ. Berlin, Fachbereich Mathematik, 103 S. (1988).
Diese Dissertation untersucht die zeitabhängige Schrödingergleichung \((d/dt)\psi(t)=-iH(t)\psi(t)\) die beim sogenannten “Charge-Transfer- Modell” eines quantenmechanischen Teilchens auftritt, das sich im zeitabhängigen Potential von \(N\) Teilchen befindet, die sich auf klassischen Bahnen \(q_ j(t)\) bewegen. \(H(t)\) hat also die Form \[ H(t)=H_ 0+\sum^{N}_{j=1}V_ j(x-q_ j(t))\text{ mit }H_ 0=-(1/2m)\Delta. \] Hier wird im wesentlichender Fall \(N=2\) behandelt, die Untersuchungen lassen sich auf \(N>2\) übertragen.
Über die \(V_ j\) wird vorausgesetzt, daß sie sich schreiben lassen als Summe von “short range” Potentialen \(V{\hat{\;}}_ j\) und “long range” Potentialen \(V^{\ell}_ j\) mit \[ V^{\ell}_ j(x)\to 0\text{ für }| x| \to 0\text{ und }| \nabla V^{\ell}_ j(x)| \leq C(1+| x|)^{-p}\text{ mit }p>\sqrt{3}. \] Mit Hilfe der Enss-Technik wird gezeigt:
1. Ist \(\psi(t)\in D(H_ 0)\) eine Lösung der Schrödingergleichung, so bleibt die Energie \(<\psi(t),H(t)\psi(t)>\) beschränkt.
2. Die im Sinne von Dollard verallgemeinerten Wellenoperatoren existieren und sind vollständig, d.h. es gibt asymptotisch nur freie Bewegung und Bindung an eines der klassischen Teilchen.
Die Arbeit verallgemeinert Resultate von Yajima und Hagedorn.
Reviewer: J.Weidmann

MSC:

35P25 Scattering theory for PDEs
47A40 Scattering theory of linear operators
81U10 \(n\)-body potential quantum scattering theory
35J10 Schrödinger operator, Schrödinger equation