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Numerische Mathematik. (Numerical mathematics). (German) Zbl 0669.65001

Grundwissen Mathematik, 7. Berlin etc.: Springer-Verlag. xii, 448 S. (1989).
Das vorliegende Buch beginnt mit einem Kapitel über die Grundfragen des numerischen Rechnens: Zahldarstellungen, Gleitkomma-Operationen, verschiedene Arten der Fehleranalyse sowie insbesondere allgemeine Betrachtungen über Algorithmen und ihre Komplexität mit zahlreichen Beispielen. Es folgen direkte Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme: Gaußsches Eliminationsverfahren, Cholesky- und Q- R-Zerlegung, jeweils mit Betrachtungen zur Komplexität; auch wird die Singulärwertzerlegung von Matrizen dargestellt. Im Kapitel über die numerische Lösung von Eigenwertaufgaben bei Matrizen sind die Reduktion auf Tridiagonal- und Hessenberg-Form, das klassische Jacobi-Verfahren, die Potenzmethode und der Q-R-Algorithmus geschildert. Das vierte Kapitel gibt dann einen breit fundierten Einstieg in die Approximationstheorie und wird insbesondere in den folgenden umfangreichen Kapiteln über Interpolation, Splines sowie numerische Integration angewandt; dort gehen die Betrachtungen jeweils bis hin zum mehrdimensionalen Fall. Anschließend werden Iterationsverfahren für Gleichungssysteme behandelt: das Verfahren der sukzessiven Approximation, das Newtonsche Verfahren, für den eindimensionalen Fall auch das Sekantverfahren, sowie für lineare Gleichungssysteme das Gesamt- und das Einzelschrittverfahren sowie Relaxationsverfahren. Den Abschluß bildet das Kapitel über lineare Optimierung, wo das Simplexverfahren und Modifikationen vorgestellt werden und sich noch Komplexitätsuntersuchungen anschließen.
In dem ausgeführten Umfang übertrifft die Darstellung eine zweisemestrige Vorlesung; darüber hinaus sind noch viele Hinweise auf weitere Eigenschaften und zusätzliche Algorithmen mit zugehörigen Literaturhinweisen aufgenommen. Gemäß dem Konzept der Reihe “Grundwissen Mathematik” sind immer wieder historische Hinweise enthalten; entsprechend nennt das Literaturverzeichnis auch zahlreiche Originalarbeiten. Zu jedem Paragraphen sind Übungsaufgaben angegeben, zum Teil auch als Beweise für Hilfssätze. Unmittelbar im Anschluß an die getroffene Stoffauswahl können weiterführende Themenkreise behandelt werden, darunter nach Auffassung der Autoren dann auch numerische Methoden für Differentialgleichungen.
Reviewer: K.Hainer

MSC:

65-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to numerical analysis
41-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to approximations and expansions
65G50 Roundoff error
68Q25 Analysis of algorithms and problem complexity
65Fxx Numerical linear algebra
65Dxx Numerical approximation and computational geometry (primarily algorithms)
65K05 Numerical mathematical programming methods
65Hxx Nonlinear algebraic or transcendental equations
90C05 Linear programming
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