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Superprocesses and their linear additive functionals. (English) Zbl 0674.60070
Cet article appartient à une importante série de travaux de l’A. consacrés aux “superprocessus”, qui sont des processus de Markov \((X_ t)\) à valeurs dans l’espace \({\mathcal M}\) des mesures bornées sur un espace d’états E, de fonction de transition (non nécessairement homogène dans le temps) \((P_{st})\) satisfaisant à \(P_{st}(\mu,\tilde f)=\mu p_{st}(f)\) pour \(\mu\in {\mathcal M}\), f borélienne bornée sur E, \(\tilde f\) étant la fonction \(\mu\mapsto \mu(f)\) sur \({\mathcal M}\) et \((p_{st})\) une fonction de transition donnée sur E. Les superprocessus étudiés ici sont des processus de branchement continu du type introduit par Dawson et Watanabe, mais l’article en donne une construction analytique complète, sans mentionner le branchement, et sous des conditions de régularité minimales.
D’autre part, pour toute règle de sortie bornée \((h_ t)\) pour la fonction de transition en bas \((p_{st})\) le processus \((\tilde h_ t\circ X_ t)\) en haut est une surmartingale. La décomposition de ces surmartingales est donnée explicitement au moyen d’une intéressante intégrale stochastique. Les fonctionnelles additives martingales correspondantes du superprocessus et leurs variations quadratiques sont étudiées.
Reviewer: P.A.Meyer

MSC:
60J25 Continuous-time Markov processes on general state spaces
60J55 Local time and additive functionals
60J80 Branching processes (Galton-Watson, birth-and-death, etc.)
60G57 Random measures
60H05 Stochastic integrals
60J60 Diffusion processes
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