×

zbMATH — the first resource for mathematics

Lattice points. (English) Zbl 0675.10031
Das vorliegende Werk behandelt die Theorie der Anzahlen von Gitterpunkten (des Einheitsgitters \({\mathbb{Z}}^ s)\) in “großen” Bereichen des s- dimensionalen euklidischen Raumes (im klassischen Sinn von Landau). Es gibt eine umfassende (und sehr gut gelungene) Exposition der im Laufe vieler Jahrzehnte entwickelten relevanten Methoden dieses Gebietes.
Nach einem einführenden Kapitel, das den Zusammenhang des Problems, asymptotische Formeln für derartige Gitterpunktanzahlen mit möglichst scharfen Restgliedern zu erzielen, mit der Abschätzung von (ein- und mehrdimensionalen) Exponentialsummen aufzeigt, wird zunächst die klassische Van der Corput’sche Methode im Detail dargestellt (Exponentenpaare, Weyl’sche Schritte). Es folgt eine sorgfältige Diskussion der Behandlung von mehrdimensionalen Exponentialsummen, beginnend mit der Methode von Titchmarsh bis zu kunstvollen Transformationsformeln, die wesentlich erst vom Verf. entwickelt wurden. Diese Techniken finden dann Anwendung bei den “mehrdimensionalen, asymmetrischen Teilerproblemen”, welche die Anzahl der Gitterpunkte \((n_ 1,...,n_ s)\in {\mathbb{N}}^ s\) in Bereichen \(n_ 1^{a_ 1}... n_ s^{a_ s}\leq x\) \((a_ j\in {\mathbb{N}}\), \(x\to \infty)\) betreffen. Das entsprechende Kapitel enthält eine Fülle interessanter neuester Entwicklungen und Resultate der “Jenaer Schule” (neben dem Autor noch H. Menzer, G. Vogts, L. Schnabl u.a.).
Selbstverständlich werden auch die übrigen klassischen Themen der Gitterpunktlehre ausführlich diskutiert: das Gauss’sche Kreisproblem, das Dirichlet’sche Teilerproblem, die mehrdimensionalen Kugelprobleme. Als besonderes “Eigengut” (da Forschungsgebiet des Verf.) fällt weiter erfreulich die Behandlung der Darstellungsanzahl natürlicher Zahlen als Summen von n k-ten Potenzen auf. Auch hier findet die Theorie der Transformation und Abschätzung von mehrdimensionalen Exponentialsummen Verwendung.
Schließlich diskutiert der Autor noch einige andere zahlentheoretische Fragestellungen, die mit der eigentlichen Gitterpunktlehre in Zusammenhang stehen, z.B. die Verteilung der sog. “powerful numbers” und die mittlere Anzahl der nicht-isomorphen abelschen Gruppen von gegebener Ordnung n.
Als Ausblick wird in Form eines Kurzberichtes auf die (während der Drucklegung des Werkes entwickelten) “diskrete Hardy-Littlewood- Methode” von Bombieri, Iwaniec, Mozzochi, Huxley und Watt hingewiesen, die bei etlichen der dargestellten Probleme zu weiteren kleinen Verbesserungen führt.
Zusammenfassend muß gesagt werden, daß diese Monographie in wirklich vorbildlicher Weise den Leser von relativ bescheidenen Vorkenntnissen (klassische Analysis) in die methodischen Details eines sehr schwierigen Gebietes der Zahlentheorie, bis an die “Front der Forschung” führt. Das Buch eignet sich vorzüglich für Seminare und auch zum Selbststudium für Diplomanden und Anfänger in der eigenen zahlentheoretischen Forschung, ebenso als Referenzwerk (umfassende Bibliographie!) für den “professionellen” Zahlentheoretiker.
Reviewer: W.G.Nowak

MSC:
11P21 Lattice points in specified regions
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11N37 Asymptotic results on arithmetic functions
11L40 Estimates on character sums
11P05 Waring’s problem and variants
11D85 Representation problems
11N45 Asymptotic results on counting functions for algebraic and topological structures
11P55 Applications of the Hardy-Littlewood method
PDF BibTeX XML Cite