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Classification of projective space motions with only plane trajectories. (English) Zbl 0678.53009

Unter Anwendung der Theorie der Lie-Gruppen löst der Autor das bisher offene und schwierige Problem, alle projektiven Bewegungsvorgänge im komplexen projektiven Raum \(P_3(\mathbb{C})\) zu klassifizieren, deren Bahnen durchwegs eben sind. Unter einer \(F_r\)-Bewegung versteht der Autor eine Projektivbewegung, deren Bahnen alle in \(r\)-dimensionalen Unterräumen, aber nicht in \((r-1)\)-dimensionalen liegen. Eine \(s\)-parametrige Projektivbewegung ist eine Immersion einer offenen Menge \(M\subset R^s\) in \(\mathrm{SL}(4,\mathbb{R})\).
Als äußerst zweckmäßig erweist sich die folgende Begriffsbildung: Eine \(s\)-parametrige projektive \(F_2\)-Bewegung \(g\) heißt maximal über \(M\), wenn es keine offene Menge \(N\subset M\) gibt, so daß \(g| N\) eine Untermannigfaltigkeit einer \((s+1)\)- parametrigen Bewegung ist. Es wird nämlich gezeigt, daß jede allgemeine Projektivbewegung mit ebenen Bahnen eine Untermannigfaltigkeit einer maximalen Projektivbewegung dieser Eigenschaft ist. Im Anschluß daran werden in eleganter Weise die maximalen Projektivbewegungen mit ebenen Bahnen bestimmt und als lineare Unterräume der Dimension \(2,3,5\) und \(8\) in \(\mathrm{GL}(4,\mathbb{C})\) beschrieben. Insgesamt stellen sich so 9 Typen von maximalen Projektivbewegungen ein, welche in Matrizendarstellungen beschrieben werden.

MSC:

53A17 Differential geometric aspects in kinematics
53A20 Projective differential geometry
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Full Text: DOI EuDML

References:

[1] W. Blaschke: Zur Kinematik. Abh. math. Sem. Univ. Hamburg, 22 (1958), 171-175. · Zbl 0178.24302 · doi:10.1007/BF02941949
[2] J. Tölke: Eine Bemerkung zu den Projektivbewegungen mit nur ebenen Bahnkurven. Arch. der Math. 33 (1979), 279-282. · Zbl 0407.53003 · doi:10.1007/BF01222757
[3] A. Karger: Affine Darboux motions. Czechoslovak Math. Journ. 35 (110) (1985), 355-372. · Zbl 0597.53004
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