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Mathématiques pour le calcul formel. (Mathematics for computer algebra). (French) Zbl 0679.12001
Mathématiques. Paris: Presses Universitaires de France. 346 p. FF 165.00 (1989).
Ce livre correspond à un cours donné par l’auteur en 1986-1987 à Strasbourg dans le cadre du DEA de mathématiques et s’addresse à des lecteurs qui possèdent un niveau équivalent à celui de la licence de mathématique (celui du DEUG devrait même suffire). Les notions utilisées implicitement sont assez limitées; ce sont les conventions de la théorie des ensembles, la donnée des entiers naturels, des rudiments de combinatoire, de l’analyse au niveau de la terminale des lycées ainsi qu’un peu d’algèbre: notions de groupe, d’anneau et des corps, quelques résultats élémentaires en algèbre linéaire.
La première partie du cours (les deux premiers chapitres) porte sur des résultats élémentaires en arithmétique; par exemple l’algorithme d’Euclide, le théorème chinois, le théorème de Fermat, etc.
La seconde et dernière partie (qui s’étend sur cinq chapitres), est construite pour mener à un algorithme de factorisation des polynômes à coefficients entiers. Ce long chemin commence par la présentation des résultats algébriques généraux sur des polynômes généraux sur un anneau.
Ensuite, on étudie les polynômes à coefficients complexes (en particulier, on démontre un certain nombre d’inégalités sur les racines ou les facteurs d’un polynôme à coefficients complexes), réelles (le thème principal est la séparation des racines réelles d’un polynôme) et dans un corps fini (qu’il contient l’algorithme de Berlekamp de factorisation des polynômes à coefficients dans un corps fini).
Au dernier chapitre, on donne donc des méthodes de factorisation des polynômes à coefficients entiers (l’effort essentiel porte sur l’algorithme de Lenstra-Lenstra-Lovász).
Si la part consacrée aux algorithmes est relativement faible, par contre, les exercices qui figurent à la fin de chaque chapitre prennent une place importante.
Reviewer: D.Busneag

MSC:
12-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to field theory
12D05 Polynomials in real and complex fields: factorization
11T06 Polynomials over finite fields
30C10 Polynomials and rational functions of one complex variable
68W30 Symbolic computation and algebraic computation
00A05 Mathematics in general
11Y16 Number-theoretic algorithms; complexity
12Y05 Computational aspects of field theory and polynomials (MSC2010)
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