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A Riemann-Hurwitz formula for the Selmer group of an elliptic curve with complex multiplication. (English) Zbl 0682.12006
Gegeben sei eine elliptische Kurve E über einem Zahlkörper F, E habe komplexe Multiplikation in dem imaginär-quadratischen Körper K. Weiterhin sei p eine Primzahl, die in K zerlegt ist, d.h. \(p={\mathfrak p}\cdot {\mathfrak p}^*\). In dem Körper F(E(\({\mathfrak p}))\) sei \(F_{\infty}\) die eindeutig bestimmte \({\mathbb{Z}}_ p\)-Erweiterung von F. Schließlich betrachte man eine (in \({\mathfrak p}^*\) unverzweigte) endliche galoissche p-Erweiterung L von \(F_{\infty}\) mit Galoisgruppe G und Ganzheitsring \({\mathfrak O}(L)\). Der Autor beschreibt eine \({\mathbb{Q}}_ p[G]\)-Modul-Zerlegung vom Pontryagin-Dualen der Selmergruppe \(H^ 1({\mathfrak O}(L),E({\mathfrak p}))\). Die Berechnung der \({\mathbb{Q}}_ p\)- Vektorraum-Dimensionen in dieser Zerlegung liefert eine Riemann-Hurwitz- Formel für die Erweiterung \(L/F_{\infty}\).
Reviewer: H.-G.Rück

MSC:
11R34 Galois cohomology
14K22 Complex multiplication and abelian varieties
14H25 Arithmetic ground fields for curves
11R18 Cyclotomic extensions
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Full Text: DOI EuDML