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A computation of the Witt index for rational quadratic forms. (English) Zbl 0683.10020

Die Arbeit zielt auf die explizite Berechnung der Invarianten einer rationalen quadratischen Form f. Dazu wird insbesondere eine modifizierte Hasse-Invariante ah(f) eingeführt. Sie hat ihre Werte in der Menge S aller endlichen Teilmengen der Menge der ungeraden Primzahlen. S wird vermöge symmetrischer Differenz zu einer abelschen Gruppe. Ist \(\bar P\) die Gruppe der positiven Quadratklassen von \({\mathbb{Q}}\), so wird mit Hilfe von Legendre-Symbolen eine symmetrische bilineare Abbildung \(\phi\) : \(\bar P\times \bar P\to S\) definiert und damit \({\mathbb{Z}}\times \bar P\times S\) zu einem kommutativen Ring gemacht. Es gibt dann einen Ring- Homomorphismus r: W(\({\mathbb{Q}})\to {\mathbb{Z}}\times \bar P\times S\), \(r([f])=(sig f, ad(f), ah(f))\). Hierbei ist ad(f) die “absolute Diskriminante” des regulären Anteils von f.
Die Berechnung der Invarianten von f mit Ausnahme des Witt-Index wi(f) ist dann einfach. Theorem 2 gibt eine Formel für wi(f) an. Dazu benötigt man eine Hilfsgröße \(d=d(s,a,A)\) für (s,a,A)\(\in {\mathbb{Z}}\times \bar P\times S\). Für \(| s| \geq 3\) ist \(d=| s|\), aber für \(| s| \leq 2\) sind Fallunterscheidungen erforderlich. Der Beweis von Theorem 2 ist ziemlich kompliziert und nimmt mehr als die Hälfte der Arbeit in Anspruch. Er benützt auch den Satz von Hasse-Minkowski.
Reviewer: A.Pfister

MSC:

11E16 General binary quadratic forms
11E12 Quadratic forms over global rings and fields
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References:

[1] DeMeyer, F., Harrison, D., andMiranda, R.,Quadratic forms over Q and Galois extensions of commutative rings. Mem. Amer. Math. Soc., Nr. 77. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1989. · Zbl 0668.10028
[2] Lam, T. Y.,The algebraic theory of quadratic forms. W.A. Benjamin Inc., Reading, MA, 1973. · Zbl 0259.10019
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