A computation of the Witt index for rational quadratic forms. (English) Zbl 0683.10020

Beale, Stephen; Harrison, D. K.

Aequationes Math. 38, No. 1, 86-98 (1989).

Die Arbeit zielt auf die explizite Berechnung der Invarianten einer rationalen quadratischen Form f. Dazu wird insbesondere eine modifizierte Hasse-Invariante ah(f) eingeführt. Sie hat ihre Werte in der Menge S aller endlichen Teilmengen der Menge der ungeraden Primzahlen. S wird vermöge symmetrischer Differenz zu einer abelschen Gruppe. Ist \(\bar P\) die Gruppe der positiven Quadratklassen von \({\mathbb{Q}}\), so wird mit Hilfe von Legendre-Symbolen eine symmetrische bilineare Abbildung \(\phi\) : \(\bar P\times \bar P\to S\) definiert und damit \({\mathbb{Z}}\times \bar P\times S\) zu einem kommutativen Ring gemacht. Es gibt dann einen Ring- Homomorphismus r: W(\({\mathbb{Q}})\to {\mathbb{Z}}\times \bar P\times S\), \(r([f])=(sig f, ad(f), ah(f))\). Hierbei ist ad(f) die “absolute Diskriminante” des regulären Anteils von f.
Die Berechnung der Invarianten von f mit Ausnahme des Witt-Index wi(f) ist dann einfach. Theorem 2 gibt eine Formel für wi(f) an. Dazu benötigt man eine Hilfsgröße \(d=d(s,a,A)\) für (s,a,A)\(\in {\mathbb{Z}}\times \bar P\times S\). Für \(| s| \geq 3\) ist \(d=| s|\), aber für \(| s| \leq 2\) sind Fallunterscheidungen erforderlich. Der Beweis von Theorem 2 ist ziemlich kompliziert und nimmt mehr als die Hälfte der Arbeit in Anspruch. Er benützt auch den Satz von Hasse-Minkowski.

Reviewer: A.Pfister

MSC:

11E16	General binary quadratic forms
11E12	Quadratic forms over global rings and fields

Keywords:

explicit computation of invariants; rational quadratic forms; modified Hasse invariant; Witt index; Witt ring of p-adics; Witt ring of rationals

References:

[1]	DeMeyer, F., Harrison, D., andMiranda, R.,Quadratic forms over Q and Galois extensions of commutative rings. Mem. Amer. Math. Soc., Nr. 77. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1989. · Zbl 0668.10028
[2]	Lam, T. Y.,The algebraic theory of quadratic forms. W.A. Benjamin Inc., Reading, MA, 1973. · Zbl 0259.10019