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Sur la structure des A-modules instables injectifs. (French) Zbl 0683.55016
\({\mathfrak A}\) désignera l’algèbre de Steenrod modulo un nombre premier fixé p. Un \({\mathfrak A}\)-module M est dit instable si, pour tout x dans M, on a: \(Sq^ ix=0\) si \(i>| x|\) pour \(s=2\), \(\beta^ ep^ ix=0\) si \(2i+e>| x|\), \(e=0,1\) pour \(p>2\), où \(| x|\) désigne le degré de x. L’objet de cet article est de décrire les injectifs de la catégorie, notée \({\mathcal U}\), des \({\mathfrak A}\)-modules instables, en abrégé \({\mathcal U}\)-injectifs. Les “modules de Brown- Gitler” J(n) sont injectifs. Les produits tensoriels \(H^*(({\mathfrak B}(Z/p)^ m;{\mathfrak F}_ p)\otimes J(n)\) sont \({\mathcal U}\)-injectif. Une “réciproque à la conjecture de Sullivan”, il s’agit de l’énoncé suivant: Soient X et Y deux espaces (resp. espaces pointés). Par espace, on entend emsemble simplicial (fibrant si nécessaire). On note \({\mathfrak \hom}(X,Y)\) (resp. \({\mathfrak \hom}_*(X,Y))\) l’espace des applications (pointées) de X dans Y. Théorème: Soit Y un espace pointé connexe nilpotent avec \(H^*(Y:{\mathfrak F}_ p)\) graduellement fini. Les deux conditions suivantes sont équivalentes: (i) L’espace \({\mathfrak \hom}_*({\mathfrak BZ}/p,Y)\) est contractile; (ii) le \({\mathfrak A}\)- module instable \(H^*(Y:{\mathfrak F}_ p)\) est localement fini.
Reviewer: Y.Furukawa

MSC:
55S10 Steenrod algebra
18G99 Homological algebra in category theory, derived categories and functors
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