×

zbMATH — the first resource for mathematics

Eine Kombination von Bundle- und Trust-Region-Verfahren zur Lösung nichtdifferenzierbarer Optimierungsprobleme. (A combination of bundle and trust-region methods for the solution of non-differentiable optimization problems). (German) Zbl 0683.90069
Bayreuther Mathematische Schriften 30. Bayreuth: Selbstverlag der Univ. Bayreuth; zugl.: Univ. Bayreuth, Fak. f. Mathematik und Physik, Diss. vii, 205 S. (1989).
Die Monographie behandelt nichtdifferenzierbare Optimierungsprobleme und ist die Dissertationsarbeit der Autorin. Zwei klassische Lösungsansätze, die Bundle-Algorithmen und das Trust-Region-Prinzip bilden den Ausgangspunkt zur Ausarbeitung einer neuen Verfahrensklasse. Das Bundle-Prinzip stellt dabei einen Grundlösungsansatz der nichtdifferenzierbaren Optimierung da, während das Trust-Region- Verfahren überwiegend in der glatten Optimierung Anwendung findet, obwohl von Fletcher und Yuan für ein speziell strukturiertes, nichtglattes Problem auch ein Trust-Region-Verfahren vorgeschlagen wurde.
Die Autorin kombiniert die grundlegenden Eigenschaften dieser beiden Lösungansätze in den BT-Algorithmen (Bundle-Trust-Algorithmen). In diesen BT-Verfahren wird die Anwendung des ursprünglichen Bundle- Prinzips durch eine Normrestriktion auf eine Umgebung der jeweiligen Iterationspunkte eingeschränkt, wobei der “Durchmesser” dieser Umgebung, dem Trust-Region-Prinzip entsprechend, in Abhängigkeit von der Güte der Modellapproximation für die Zielfunktion gewählt wird.
Nach einer Zusammenstellung der Grundlagen des Trust-Region-Prinzips und der Bundle-Verfahren werden in den Kapiteln 5-7 der BT-Algorithmus mit den entsprechenden Konvergenzeigenschaften angegeben. Im Kapitel 8 wird nachgewiesen, daß dieser Algorithmus für stückweise lineare Zielfunktionen endlich ist.
Erweiterungen des Verfahrens auf Probleme mit linearen und nichtlinearen Restriktionen werden in den Kapiteln 9 und 10 behandelt, während der Abschnitt 11 Implementationen von verschiedenen Versionen des BT- Algorithmus und damit erzielte Testresultate vorstellt. Die Arbeit endet mit einem gut ausgewählten Literaturverzeichnis zu den behandelten Teilgebieten.
Die Monographie behandelt die gewählte Thematik sowohl von der theoretischen Ausarbeitung der Grundlagen, als auch von der Verfahrensseite her sehr übersichtlich und umfassend, und dürfte damit für einen breiten Leserkreis von Interesse sein.
Reviewer: H.Bernau

MSC:
90C30 Nonlinear programming
90-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to operations research and mathematical programming
65K05 Numerical mathematical programming methods
49M37 Numerical methods based on nonlinear programming