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Holomorphic Hilbert modular forms. (English) Zbl 0685.10021

Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series. Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software. xiii, 304 p. (1990).
Die in den letzten Jahren sehr aktuelle und erheblich ausgeweitete Theorie der Hilbertschen Modulformen und Modulfunktionen litt bis in die neueste Zeit unter dem Manko, daß praktisch keine einführenden Darstellungen verfügbar waren. Jetzt sind in kurzer Zeit drei derartige Bücher erschienen, von G. van der Geer [Hilbert modular surfaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, Bd. 16. Berlin etc.: Springer (1988; Zbl 0634.14022)], von Garrett (das hier besprochen wird) und von E. Freitag [Hilbertsche Modulformen. Berlin: Springer (1990; Zbl 0702.11029)]. Bei dem großen Umfang der Theorie ist es klar, daß jedes Werk außer den Anfangsgründen nur einen Teilausschnitt behandeln kann. Um so erfreulicher ist es, daß es bei den drei Einführungen nur wenige Überschneidungen gibt.
Das vorliegende Buch ist stark arithmetisch ausgerichtet (Fourierkoeffizienten, Dirichletreihen, spezielle Werte von \(L\)-Reihen). Kapitel 1 bringt eine kurze klassische Grundlegung (Definitionen, Fundamentalbereich, Eisensteinreihen, Spitzenformen und zugeordnete Dirichletreihen, Skalarprodukt, Poincaréreihen) mit einem Exkurs über Hecke-Operatoren in dem einfach behandelbaren Fall der engeren Klassenzahl 1.
In Kapitel 2 folgt eine Einführung in die Theorie der automorphen Formen auf der Gruppe \(\mathrm{GL}(2,\mathbb A)\) über dem Ring \(\mathbb A\) der Adele zu dem zugrunde gelegten total-reellen Zahlkörper \(F\) (mit Hecke-Algebra, invarianten Differentialoperatoren und Fourierentwicklungen). Hierzu wird in einem Anhang kurz über Integration in homogenen Räumen, harmonische Analysis auf den Adelen und invariante Differentialoperatoren referiert.
Sehr verdienstvoll ist Kapitel 3, in dem die klassische mit der adelisierten Darstellung verglichen wird. Für die Einbettung der klassischen automorphen Formen in die automorphen Formen zu \(\mathrm{GL}(2,\mathbb A)\) wird in einem Anhang gezeigt, daß \(\mathrm{SL}(n,F)\mathrm{SL}(n,F_{\infty})\) (mit dem Produkt \(F_{\infty}\) der Komplettierungen von \(F\) an den unendlichen Primstellen) dicht in \(\mathrm{SL}(2,\mathbb A)\) ist. Die nächsten Kapitel behandeln Eisensteinreihen mit ihren Fourierkoeffizienten und den Vollständigkeitssatz, alles in adelisierter Darstellung (Kapitel 4) und Thetareihen (Kapitel 5).
Kapitel 6 bringt die eigentliche Arithmetik. Der Verf. formuliert zunächst seinen Hauptsatz, der im wesentlichen besagt, daß die Räume der Spitzenformen vom Gewicht \(k\) und Charakter \(\omega\) von Modulformen erzeugt werden, deren Fourierkoeffizienten in gewissen algebraischen Zahlkörpern liegen. Als Konsequenz ergibt sich, daß man die Spitzenformen zum Charakter \(\omega^{\sigma}\), \(\sigma\in \operatorname{Aut}(\mathbb C)\), erhält, indem man \(\sigma\) auf die Fourierkoeffizienten der Spitzenformen zum Charakter \(\omega\) anwendet. Darüber hinaus enthält der Hauptsatz analoge Aussagen über die Skalarprodukte gewisser Modulformen. Aus dem Hauptsatz zieht der Verf. dann Folgerungen für spezielle Werte von \(L\)-Funktionen. Die Rationalitätseigenschaften der Fourierkoeffizienten einer geeigneten Basis der Spitzenformen wurden zuerst von G. Shimura gezeigt, allerdings auf einem gänzlich anderen Weg [Ann. Math. (2) 102, 491–515 (1975; Zbl 0327.10028)].
Zum Beweis des Hauptsatzes, der in Kapitel 7 ausgeführt wird, benutzt der Verf. eine von ihm kürzlich entwickelte neue Methode [Automorphic forms of several variables, Taneguchi Symp., Katata/Jap. 1983, Prog. Math. 46, 114–137 (1984; Zbl 0544.10023)]. Mit Hilfe einer Diagonaleinbettung \(\iota: \mathrm{SL}(2,F)\times\mathrm{SL}(2,F)\to \mathrm{Sp}(2,F)\) in die Hilbert-Siegelsche Modulgruppe \(\mathrm{Sp}(2,F)\) erhält er eine Entwicklung einer Eisensteinreihe \(E\) zur Hilbert-Siegelschen Modulgruppe in der Form \[ E(\iota (g,g'))=\sum_{\lambda}S(\lambda)\sum_{f}f(g)f^*(g'),\quad g,g'\in \mathrm{SL}(2,\mathbb A), \] worin über gewisse Algebra-Homomorphismen \(\lambda\) und zu jedem \(\lambda\) über ein Orthogonalsystem von Erzeugenden \(f\) eines zugehörigen Raumes von Spitzenformen vom Gewicht \(k\) summiert wird mit einer zum jeweiligen \(f\) konjugierten Funktion \(f^*\). Dieser Zusammenhang erlaubt dem Verf., aus den arithmetischen Eigenschaften der Fourierkoeffizienten der Eisensteinreihe auf arithmetische Eigenschaften der Fourierkoeffizienten geeigneter Basisfunktionen \(f\) zu schließen.

MSC:

11F41 Automorphic forms on \(\mbox{GL}(2)\); Hilbert and Hilbert-Siegel modular groups and their modular and automorphic forms; Hilbert modular surfaces
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11F46 Siegel modular groups; Siegel and Hilbert-Siegel modular and automorphic forms
11F66 Langlands \(L\)-functions; one variable Dirichlet series and functional equations
11F67 Special values of automorphic \(L\)-series, periods of automorphic forms, cohomology, modular symbols
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