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A limit theorem for the Riemann zeta-function near the critical line. II. (Russian) Zbl 0685.10029
Der Verf. setzt seine Untersuchungen [vgl. Mat. Sb., Nov. Ser. 135(177), No. 1, 3–11 (1988; Zbl 0649.10026)] über das Verhalten der Riemannschen Zetafunktion auf vertikalen Geraden in der Umgebung der kritischen Geraden fort. Dabei wird \(\delta_ T>0\), \(\delta_ T\to 0\), \(\psi_ T\to \infty\), \(\ln \psi_ T = o(\ln \Delta_ T)\), \(\Delta_ T = \delta_ T^{-1} \leq \ln T\), \(\sigma_ T = 1/2 + \psi_ T \delta_ T (\ln\Delta_ T)^{1/2}\) und \(\varepsilon_ T = (1/2 \ln \Delta_ T)^{-1/2}\) für \(T\to\infty\) vorausgesetzt. Bezeichnet \(\text{mes }A\) das Lebesguesche Maß einer L-meßbaren Menge \(A\) und setzt man bei genügend großem \(T\) \[ F_ T(x) = (1/T) \text{ mes}\{t\in [0,T] \mid|\zeta(\sigma_ T+it)|^{\varepsilon_ T} < x\}, \] so ergibt sich \[ \lim_{T\to\infty} F_ T(x) = (1/\sqrt{2\pi}) \int^{\ln x}_{-\infty} e^{-u^2/2}\, du \text{ für }x>0. \] Der Beweis beruht auf einer speziellen Mittelwertabschätzung von \(\zeta(s)\) auf der Geraden \((\sigma_ T)\).
Allgemeiner wird für eine Borelsche Menge \(B\) der komplexen Ebene \[ \mu_ T(B) = (1/T) \text{ mes}\{t\in[0,T] \mid \zeta(\sigma_ T+it) ^{\varepsilon_ T}\in B\} \] gesetzt, wo \(\text{arg }\zeta(\sigma_ T+it)\) im Falle \(\zeta(\sigma_ T+it)\neq 0\) durch stetige Fortsetzung längs des Streckenzugs mit den Eckpunkten 2, \(2+it\), \(\sigma_ T+it\) definiert ist. Aus \(e^{\Delta_ T} \leq (\ln T)^{2/3}\) (\(T\to\infty\)) wird die Existenz eines nichtsingulären Wahrscheinlichkeitsmaßes hergeleitet, gegen welches \(\mu_ T\) schwach für \(T\to\infty\) konvergiert.

MSC:
11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
11K99 Probabilistic theory: distribution modulo \(1\); metric theory of algorithms
60F05 Central limit and other weak theorems
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Full Text: EuDML