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Fully nonlinear elliptic equations. (English) Zbl 0685.35045

The mathematical heritage of Hermann Weyl, Proc. Symp., Durham/NC 1987, Proc. Symp. Pure Math. 48, 217-225 (1988).
[For the entire collection see Zbl 0644.00001.]
Ausgehend vom Weylschen Einbettungsproblem wird das Dirichlet-Problem für die allgemeine nichtlineare elliptische Differentialgleichung \(F(x,u,Du,D^ 2u)=0\) für Gebiete \(\Omega \subset {\mathbb{R}}^ n\) \((n>2)\) betrachtet.
Wesentlich für die Anwendung der Kontinuitätsmethode ist die Gewinnung von a priori Schranken für die \(C^ 2\)- und die \(C^{2,\mu}\)-Normen der Lösung u in \(\Omega\) bzw. \({\bar \Omega}\). Im allgemeinen Fall ist die Frage, ob eine \(C^ 2\)-Abschätzung immer eine \(C^{2,\mu}\)-Abschätzung impliziert, offen.
In dem folgenden Übersichtsartikel werden für spezielle Formen von F eine Reihe von Beiträgen zu diesem Thema diskutiert. Es handelt sich dabei vor allem um neuere Ergebnisse von Caffarelli, Nirenberg und Spruck. Diese beziehen sich auf den Fall, wo Funktionen der Eigenwerte der Hesseschen Matrix \(\{u_{jk}\}\) bzw. der Hauptkrümmungen der Hyperfläche (x,u(x)) vorgegeben sind. Eine wesentliche Voraussetzung an F ist die Konkavität bezüglich \(\{D^ 2u\}\).
Reviewer: E.Heinz

MSC:

35J65 Nonlinear boundary value problems for linear elliptic equations
35B45 A priori estimates in context of PDEs
35J60 Nonlinear elliptic equations
35J25 Boundary value problems for second-order elliptic equations
53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
35A07 Local existence and uniqueness theorems (PDE) (MSC2000)
35B50 Maximum principles in context of PDEs
53C45 Global surface theory (convex surfaces à la A. D. Aleksandrov)
35J20 Variational methods for second-order elliptic equations
35B60 Continuation and prolongation of solutions to PDEs
35M99 Partial differential equations of mixed type and mixed-type systems of partial differential equations

Citations:

Zbl 0644.00001