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Transformation de Fourier géometrique. (On geometric Fourier transformations). (French) Zbl 0687.35003

Sémin. Bourbaki, 40ème Année, Vol. 1987/88, Exp. No. 692, Astérisque 161-162, 133-150 (1988).
[For the entire collection see Zbl 0659.00006.]
Etant donné un système (\({\mathfrak S})\) d’équations aux dérivées partielles à coefficients polynomiaux, on considère le système obtenu par la transformation \(\xi_ i=\partial /\partial x_ i\), \(x_ i=-\partial /\partial \xi_ i\). Quels liens existe-t-il entre les solutions holomorphes de ces deux systèmes? Existe-t-il une transformation de nature faisceautique entre les deux qui mériterait alors le nom de transformation de Fourier géométrique? L’article de l’auteur fait le point sur les travaux consacrés à cette question. Historiquement, ce thème remonte à la méthode de Laplace pour intégrer les équations différentielles à coefficients affines par des transformations intégrales convenables, et à divers continuateurs (Cauchy, Poincaré, Birkhoff). Deux types de difficultés apparaîssent: Problèmes liés à la croisance à l’infini des solutions, apparition naturelle de certains conoyaux d’opérateurs qui indiquent que le contexte naturel est la considération es complexes de solutions au sens des catégories dérivées.
L’auteur détaille ces questions de la façon suivante: Au § 1, il étudie la transformation de Fourier \(W(E)\to^{F}W(E')\) entre une algèbre de Weyl et celle du dual algébrique \(E'\). Il en tire une formulation algébrique en terme d’images directe et réciproque sur \(E\times E'\) de la transformée FM d’un W(E)-module M (résultat de Katz et Laumon). Au § 2, il étudie le complexe des solutions sol(M) et montre que la difficulté du passage à \(sol(FM)\) réside dans la compactification projective \(E\to \bar E\) et les conditions de croissance à l’infini sur M. Le cas intéressant est le cas homogène traité au § 3.
L’auteur définit sur les complexes constructibles de \({\mathbb{C}}\)- vectoriels une transformation (“de Fourier géométrique”) \(G\to F^+G\) et établit la formule \(Sol(FM)=F^+(Sol M)\) lorsque M est monodromique (i.e. chaque \(m\in M\) est annulé par un polynôme b(\(\lambda)\) en \(\lambda =\sum x_ i(\partial /\partial x_ i).\)
Ensuite, il montre que \(F^+\) est une équivalence de catégories sur \(D_{\hom}(E,{\mathbb{C}})\) catégorie des complexes de faisceaux munie d’une action sous \({\mathbb{R}}^+\), d’inverse \(F^-\) (“Inversion de Fourier géométrique”).
L’article se poursuit par une étude du comportement par F des conditions de croissance par rapport aux \(\exp (B\| x\|)\). L’article comprend également, entre autres, une esquisse de la transformation de Fourier sur les fibrés (avec des opérateurs différentiels analytiques, polynomiaux dans les fibres) et se termine par une étude plus approfondie du cas \(n=1:\)
L’auteur montre que dans ce cas, on peut calculer les solutions de FM en fonction de celle de M et de conditions de croissance à l’infini (“Structures de Stokes”).
Reviewer: J.M.Granger

MSC:

35A22 Transform methods (e.g., integral transforms) applied to PDEs
35A27 Microlocal methods and methods of sheaf theory and homological algebra applied to PDEs
32C38 Sheaves of differential operators and their modules, \(D\)-modules

Citations:

Zbl 0659.00006
Full Text: Numdam EuDML