Links between solutions of \(A-B=C\) and elliptic curves. (English) Zbl 0688.14018

Frey, Gerhard

Number theory, Proc. 15th Journ. Arith., Ulm/FRG 1987, Lect. Notes Math. 1380, 31-62 (1989).

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Ziel dieser sehr interessanten Arbeit ist es, den Zusammenhang zwischen wichtigen Vermutungen der Zahlentheorie herauszustellen und einen Überblick über den heutigen Stand bewiesener Tatsachen zu geben, die diese Vermutungen betreffen.
Aus dem reichhaltigen Inhalt der Arbeit seien nur ein paar Resultate erwähnt: Sei K ein algebraischer Zahlkörper.
(i) Die Richtigkeit der (geometrischen) Höhenvermutung für die elliptische Kurve \(E_{(A,B)}:y^ 2=x(x-A)(x-B)\), \(A, B\quad aus\quad K\) hat die Richtigkeit der A-B-C Vermutung zur Folge, die die Lösungen der Gleichung \(A-B=C\) in K betrifft.
(ii) Die Existenz einer nicht-trivialen ganzzahligen Lösung der Fermatschen Gleichung \(x^ n+y^ n=z^ n\), \(n\geq 3\), ist gleichbedeutend mit der Existenz einer elliptischen Kurve mit “exotischen” Eigenschaften (G. Frey).
(iii) Aus der Richtigkeit der Taniyama Vermutung, daß jede elliptische Kurve über \({\mathbb{Q}}\) modulare Kurve ist, folgt die Richtigkeit des Fermatschen “Satzes” (K. Ribet).

Reviewer: J.A.Antoniadis

MSC:

14G25	Global ground fields in algebraic geometry
14H25	Arithmetic ground fields for curves
11D41	Higher degree equations; Fermat’s equation
14H52	Elliptic curves
14H45	Special algebraic curves and curves of low genus

Keywords:

ABC conjecture; Fermat Last Theorem; Taniyama conjecture

Citations:

Zbl 0667.00007