Arithmetic theory of arithmetic surfaces. (English) Zbl 0688.14019

Saito, Shuji

Ann. Math. (2) 129, No. 3, 547-589 (1989).

Sei X eine arithmetische Fläche, d.h. X ein zusammenhängendes reguläres Schema der \(Dimension\quad 2,\) welches flach und eigentlich über \({\mathbb{Z}}\) ist. Sei K der Körper der rationalen Funktionen auf X und Br(K) die Brauergruppe von K.
Ein Hauptziel der Arbeit ist die Definition einer Reziprozitätsabbildung \(\Phi_ K:\quad Br(K)\to \lim_{\to}Hom(C_ J(X),{\mathbb{Q}}/{\mathbb{Z}}) \) von Br(K) in die Charaktergruppe der Idealklassengruppe von X; für jedes kohärente Ideal J von \({\mathcal O}_ X\) ist hierbei \(C_ J(X)=H^ 2(X_{Zar},K_ 1({\mathcal O}_ X,J))\) mit der \(K_ 1\)-Zariskigarbe \(K_ 1({\mathcal O}_ X,J)\) zum Paar (\({\mathcal O}_ X,J)\). Grundlegend für die Definition der Reziprozitätsabbildung ist eine mit Hilfe der “arithmetischen Kohomologie” von Lichtenberg definierte Paarung \(H^ 2(U,G_ m)\times H^ 2(X,j!G_ m)\to {\mathbb{Q}}/{\mathbb{Z}}\) für offene Teilmengen \(j:\quad U\to X\) und die Beziehung der étalen Kohomologie \(H^ 2(X,j!G_ m)\) zur Zariski-Kohomologie der \(K_ 1\)-Garbe \(K_ 1({\mathcal O}_ X,J).\)
Das Hauptergebnis der Arbeit betrifft den Kern und den Cokern der Reziprozitätsabbildung: Der Kern von \(\Phi_ K\) ist gleich der Brauergruppe Br(X) des Schemas X, und für jede Primzahl \(\ell\) ist die \(\ell\)-primäre Komponente des Cokerns von \(\Phi_ K\) kanonisch isomorph zur Charaktergruppe des Tatemoduls \(T_{\ell}Br(X)\).

Reviewer: G.Tamme

MSC:

14G25	Global ground fields in algebraic geometry
14J20	Arithmetic ground fields for surfaces or higher-dimensional varieties
14F22	Brauer groups of schemes
14C35	Applications of methods of algebraic \(K\)-theory in algebraic geometry

Keywords:

arithmetic surfaces; Brauer groups