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On an integral representation and the associated transform of analytic functions of several complex variables. (English. Russian original) Zbl 0688.32006
Sov. Math., Dokl. 37, No. 1, 38-41 (1988); translation from Dokl. Akad. Nauk SSSR 298, No. 1, 44-48 (1988).
Die Note formuliert (ohne Beweis) zu der Fülle möglicher Integralformeln einige weitere von folgendem Typ: Gegeben sei eine algebraische Menge \(X\subset {\mathbb{C}}^ n\), f eine auf \({\mathbb{C}}^ n\setminus X\) (evtl. mehrdeutige, für einige Sätze dazu homogene) analytiche Funktion mit einem bestimmten Wachstumsverhalten gegen X (auch nur gegen Teile von X). Formen der Gestalt \(f(y)\cdot \omega (p)\wedge dy/(p\cdot (x-y))^ n\), \(x,y,p\in {\mathbb{C}}^ n\), (oder \(f(x)\cdot \omega (x)/(p\cdot x)^{n+k+1}\) (usw.)) mit \(\omega (t)=(p\cdot \partial /\partial p_{\rfloor}dp)\) induzieren (bei z.B. fixiertem x) auf \(\{p\cdot (x-y)=0\}\) ein Residuum, dessen Integration eine Funktion in den nicht integrierten Variablen liefert. Die damit gegebenen Zuordnungen sind reproduzierend oder bilden bestimmte Funktionenräume auf andere bijektiv ab. (Transformationen vom Laplace-Radon- oder Fourier-Typ, Formeln vom Typ Cauchy-Fantappiè.) Die Autoren behaupten, solche Formeln für das Studium des asymptotischen Verhaltens der Lösungen gewisser Differentialgleichungen verwenden zu können. Das ist gewiß so.
Reviewer: K.Spallek

MSC:
32A25 Integral representations; canonical kernels (Szegő, Bergman, etc.)
44A10 Laplace transform
42B10 Fourier and Fourier-Stieltjes transforms and other transforms of Fourier type
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