\(d'd''\) et \(d''\)-cohomologies d’une variété compacte privée d’un point. Application à l’intégration sur les cycles. II. \((d'd''\) and \(d''\)-cohomology on compact manifolds minus one point. Applications to integration on cycles. II.). (French) Zbl 0689.32006

Ofman, Salomon

Analysis 8, No. 3-4, 315-323 (1988).

Soit Y une variété analytique complexe, \({\mathcal A}^{r,s}\) le faisceau des germes de formes différentielles \({\mathcal C}^{\infty}\) de type (r,s) sur Y, \(H^ s(Y,\Omega^ r)\) (resp. \(V^{r,s}(Y))\) les espaces de \(d''\)-cohomologie (resp. de \(d'd''\)-cohomologie) de Y. On définit \(V^{r,s}(Y)\) de la manière suivante: \[ V^{r,s}(Y)=Ker({\mathcal A}^{r,s}(Y)\mapsto^{d'd''}{\mathcal A}^{r+1,s+1}(Y))/d'{\mathcal A}^{r-1,s}(Y)\oplus d''{\mathcal A}^{r,s- 1}(Y). \] Alors que la \(d''\)-cohomologie est celle d’un faisceau analytique cohérent, il n’en est pas de même de la \(d'd''\)- cohomologie qui est delle d’un faisceau non analytique, non cohérent. On ne peut donc pas lui appliquer les théorèmes standards de l’algèbre homologique. Il existe cependant une application naturelle \(i:H^ s(Y,\Omega^ r)\oplus H^ s(Y,{\bar \Omega}^ r)\) dans \(V^{r,s}(Y)\). Dans un papier précédent [partie I de ce papier, Bull. Soc. Math. France 113, 241-254 (1985; Zbl 0586.32009)], l’auteur avait étudié le noyau de cette application sous l’hypothèse où Y est le complémentaire d’un point dans une variété kählérienne compacte. Escepté en degré n-1, les groupes de cohomologie sont alors tous de dimension fini et il est aisé de les calculer; c’est pourquoi l’auteur s’est intéressé au das où \(r=s=n-1\). Sous la même hypothèse, il termine ici l’étude de l’application i en calculant son image dans \(V^{n-1,n-1}(Y)\), ce qui permet de déterminer complètement cet espace.

Reviewer: Z.Mebhkont

MSC:

32C38	Sheaves of differential operators and their modules, \(D\)-modules
32C30	Integration on analytic sets and spaces, currents

Keywords:

\(d'd''\)-cohomology

Citations:

Zbl 0586.32009