Modules de Hodge polarisables. (Polarisable Hodge modules). (French) Zbl 0691.14007

Saito, Morihiko

Publ. Res. Inst. Math. Sci. 24, No. 6, 849-995 (1988).

Dans son article sur la conjecture de Weil, parte II, P. Deligne [Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. 52, 137-252 (1980; Zbl 0456.14014)] a introduit la notion de complexe pur et démonté la stabilité par image directe pour les morphismes propres. Cette théorie des faisceaux pervers: Théorème de décomposition, stabilité des faisceaux pervers purs par image directe intermédiaire. Le but de cet article est de montrer qu’il existe en caractéristique 0 des objets correspondants aux complexes purs. Pour cela, l’A. utilise la théorie des \({\mathcal D}\)-modules filtrés. Il construit successivement les catégories des modules de Hodge de poids w, des modules localement décomposables par support strict et aboutit enfin en utilisant la théorie de la V-filtration de Malgrange-Kashiwara à la notion de module de Hodge polarisable. Il démontre alors que les modules de Hodge polarisable sont stables par image directe perverse par un morphisme projectif, établit un théorème de Lefschetz relatif et l’existence d’une polarisation sur les parties primitives. D’autre part, il montre que toute variation de structure de Hodge (V.H.S. en abrégé) sur une variété de poids w est un module de Hodge polarisable (de poids \(w+\dim (X)).\) Comme application, il obtient les résultats suivants:
Toute V.S.H. polarisable sur un ouvert de Zariski se prolonge en un module de Hodge polarisable.
On a un théorème de décomposition pour les images directes des complexes d’intersection par des morphismes à fibres projectives, provenant de systèmes locaux L relatifs à une V.H.S.
Pour un L comme ci-dessus, la cohomologie d’intersection est canoniquement munie d’une structure de Hodge polarisable.

Reviewer: J.M.Granger

MSC:

14C30	Transcendental methods, Hodge theory (algebro-geometric aspects)
32C38	Sheaves of differential operators and their modules, \(D\)-modules
14F40	de Rham cohomology and algebraic geometry
14F10	Differentials and other special sheaves; D-modules; Bernstein-Sato ideals and polynomials

Keywords:

intersection cohomology; perverse sheaf; D-module; variation of Hodge structure

Citations:

Zbl 0456.14014

References:

[1]	A.A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne, Faisceaux pervers, Astérisque, 100 (1982), 5-171. · Zbl 0536.14011
[2]	J-L. Brylinski, Modules holonomes à singularités régulières et filtration de Hodge II, Astérisque, 101-102 (1983), 75-117. · Zbl 0598.14008
[3]	, , (Co)homologie d’intersection et faisceaux pervers. Séminaire Bourbaki, n^\circ 585, Astérisque, 92-93 (1982), 129-157. · Zbl 0574.14017
[4]	J. Cheeger, M. Goresky, R. MacPherson, L2-cohomology and intersection homology, of singular algebraic varieties, in Seminar on Differential Geometry, Ann. Math. Studies, 102 (1982), 303-340. · Zbl 0503.14008
[5]	H. Clemens, Degeneration of Kâhler manifolds, Duke Math. /., 44 (1977), 215-290. · Zbl 0353.14005 · doi:10.1215/S0012-7094-77-04410-6
[6]	P. Deligne, Théorie de Hodge, I, Actes du Congrès international des Mathématiciens (Nice, 1970), 425-430, II et III, Publ. Math. INES, 40 (1971), 5-57 et 44 (1974), 5-77.
[7]	, La conjecture de Weil II, Publ. Math. INES, 52 (1980), 137-252.
[8]	, Théorème de Lefschetz et critères de dégénérescence de suites spectrales, Publ. Math. 1RES, 35 (1968), 107-126. · Zbl 0159.22501 · doi:10.1007/BF02698925
[9]	, Cohomologie à supports propres, SGA4 XVII, Springer Lecture Note, 305 (1973), 250-461.
[10]	, Le formalisme des cycles évanescents, SGA7 XIII, Springer Lecture Note, 340(1973), 82-115.
[11]	9 Positivité: signe, I (manuscrit, 16-2-84), II (manuscrit, 6-11-85).
[12]	O. Gabber, The integrability of thé characteristic variety, Amer. J. Math., 103 (1981), 445-468. · Zbl 0492.16002 · doi:10.2307/2374101
[13]	H. Hironaka: Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of char- acteristic zéro. I, II, Ann. Math., 79 (1964), 109-203. · Zbl 0122.38603 · doi:10.2307/1970486
[14]	^ Stratification and flatness, in Real and complex singularities (Proc. Ninth Nordic Summer School/NA VF Sympos. Math., Oslo, 1976), 199-265. Sijthoff and Noordhoff Alphen aan den Rijn, 1977.
[15]	C. Houzel, P. Schapira, Images directes des modules différentiels, C.R. Acad. Sri., 298 (1984), 461-464. · Zbl 0582.14004
[16]	M. Kashiwara, On thé maximally overdetermined System of linear differential équa- tions, I, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 10 (1974/75), 563-579. · Zbl 0313.58019 · doi:10.2977/prims/1195192011
[17]	^ Vanishing cycle sheaves and holonomic Systems of differential équations, Springer Lecture Note, 1016 (1983), 134-142. · Zbl 0566.32022
[18]	M. Kashiwara, T. Kawai, On thé holonomic Systems of micro-differential équations, III, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 17 (1981), 813-979. · Zbl 0505.58033 · doi:10.2977/prims/1195184396
[19]	M. Kashiwara, P. Schapira, Microlocal study of sheaves, Astérisque, 128 (1985), 1-235. · Zbl 0589.32019
[20]	R. Kiehl, J-L. Verdier, Ein einfacher Beweis des Kohàrenzsatzes von Grauert, Math. Ann., 195 (1971), 24-50. · Zbl 0223.32010 · doi:10.1007/BF02059414
[21]	G. Laumon, Sur la catégorie dérivée des ^-Modules filtrés, Springer Lecture Note, 1016 (1983), 151-237. · Zbl 0551.14006
[22]	B. Malgrange, Polynôme de Bernstein-Sato et cohomologie évanescente, Astérisque, 101-102 (1983) 243-267.
[23]	Z. Mebkhout, Théorème de bidualité pour les .^-Modules holonomes, Arkiv fur Math., 20 (1982), 111-124. · Zbl 0525.32025 · doi:10.1007/BF02390502
[24]	D. Quillen, Higher algebraic K-theory. I, Springer Lecture Note, 341 (1973), 85-147. · Zbl 0292.18004 · doi:10.1007/BFb0067053
[25]	J-P. Ramis, G. Ruget, J-L. Verdier, Dualité relative en géométrie analytique com- plexe, Inv. Math., 13 (1971), 261-283. · Zbl 0218.14010 · doi:10.1007/BF01406078
[26]	M. Saito, Hodge filtra tion on Gauss-Manin Systems. I, /. Fac. S ci., Univ. Tokyo, Sect. I A 30 (1984), 489-498, IL Proc. Japan Acad., Ser. A 59 (1983), 37-40. j-27] ^ ^-Modules filtrés et structures de Hodge mixtes (manuscrit, oct. 1983). j-28] f Hodge structure via filtered ^-Modules, Astérisque, 130 (1985), 342-351.
[27]	J.H.M. Steenbrink, Limits of Hodge structures, Inv. Math., 31 (1975/76), 229-257. PQ] ? Mixed Hodge structure on thé vanishing cohomology, in Rael and complex singularises (Proc. Ninth Nordic Summer School/NAVF Sympos. Math., Oslo, 1976). 525-563. Stijhoff and Noordhoff, Alphen aan den Rijn, 1977.
[28]	J-L. Verdier, Catégories dérivées, Etat 0. in SGA 4 1/2, Springer Lecture Note 569 (1977), 262-308.
[29]	, Dualité dans les espaces localement compacts, Séminaire Bourbaki n^\circ 300 (1965/66).
[30]	, Dimension des espaces localement compacts. C.R. Acad. Sci. Paris 261 (1965), 5293-5296. · Zbl 0171.21501
[31]	, Extension of a perverse sheaf over a closed subspace, Astérisque 130 (1985), 210-217.
[32]	A.N. Varchenko, The asymptotics of holomorphic forms define a mixed Hodge struc- ture, Soviet. Math. DokL, 22 (1980), 772-775. · Zbl 0516.14007
[33]	S. Zucker, Hodge theory with degenerating coefficients, L2 cohomology in thé Poin- caré metric, Ann. Math., 109 (1979), 415-476. · Zbl 0446.14002 · doi:10.2307/1971221
[34]	H. Cartan, S. Eilenberg, Homological Algebra, Princeton University Press, 1956. · Zbl 0075.24305
[35]	A. Grothendieck, J. Dieudonné, Elément de géométrie algébrique III, Publ. Math. IHES, 11 (1961).
[36]	B. Malgrange, Ideals of differentiable functions, Oxford University Press, 1966. · Zbl 0177.17902