×

zbMATH — the first resource for mathematics

Valeurs propres de matrices. (Matrix eigenvalues). (French) Zbl 0691.65018
Collection Mathématiques Appliquées pour la Maîtrise. Paris etc.: Masson. 223 p. (1988).
L’objet de cet ouvrage est de donner une théorie moderne et complète, mais qui reste d’un niveau élémentaire, du problème de valeurs propres de matrices. On présente, en dimension finie et en notation matricielle, les éléments fondamentaux de la théorie spectrale des opérateurs linéaires. L’utilisation du vocabulaire de l’analyse fonctionnelle a pour effet de montrer la profonde unité entre les différentes méthodes d’approximation. Dans le même temps, l’utilisation du vocabulaire de l’algèbre linéaire, en particulier l’utilisation systématique de bases pour représenter les sous-espaces invariants, permet de donner un éclairage géométrique qui complète la traditionnelle présentation algébrique de bien des algorithmes d’analyse numérique matricielle.
La présentation de l’ouvrage s’organise autour de quelques idées forces:
- traitement du problème de valeurs propres entièrement général: matrices non symétriques et valeurs propres multiples défectives.
- influence du défaut de normalité sur le conditionnement spectral (chapitre 4),
- utilisation privilégiée de la forme de Schur plutôt que de celle de Jordan,
- traitement simultané de plusieurs valeurs propres distinctes (chapitres 2 et 4),
- présentation des algorithmes actuellement les plus efficaces (sur ordinateurs séquentiels ou vectoriels) pour calculer les valeurs propres (i) de matrices denses de taille moyenne et (ii) de matrices creuses de grande taille. Ils se divisent respectivement en deux familles (i) les algorithmes de type itération de sous-espaces (chapitres 5,6,7) et (ii) ceux de type Lanczos/Arnoldi incomplet (chapitre 6),
- analyse de la convergence de sous-espaces à l’aide de celle de bases (chapitre 1),
- analyse de la qualité de l’approximation à l’aide de deux notions: approxmation par projection orthogonale sur un sous-espace, et comportement asymptotique du sous-espace \(A^ kS\), \(k=1,2,...\), (chapitres 5,6,7),
- amélioration de l’efficacité des méthodes numériques par préconditionnement spectral (chapitres 5,6,7).

MSC:
65F15 Numerical computation of eigenvalues and eigenvectors of matrices
15-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to linear algebra
65-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to numerical analysis
65Y05 Parallel numerical computation
15A18 Eigenvalues, singular values, and eigenvectors
15A21 Canonical forms, reductions, classification
65F10 Iterative numerical methods for linear systems
65F35 Numerical computation of matrix norms, conditioning, scaling
PDF BibTeX XML Cite